Application linéaire, f injective

[invite4f80dcbf]

Bonjour,

Pourriez-vous m'expliquer la raison de cette propriété s'il-vous-plaît ?

f injective <=> Ker (f) = {0}

injectif : qu'un seul antécédent pour une image

Ma question revient donc à "pourquoi 0 serait-il forcément un antécédent de 0" ?

Merci beaucoup
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[invite4f80dcbf]

Bonjour,

Pourriez-vous m'expliquer la raison de cette propriété s'il-vous-plaît ?

f injective <=> Ker (f) = {0}

injectif : qu'un seul antécédent pour une image

Ma question revient donc à "pourquoi 0 serait-il forcément un antécédent de 0" ?

Merci beaucoup

Sans doute parce que nous avons affaire à une application linéaire... avec une fonction passant par l'origine (je ne distingue pas encore tout à fait fonction linéaire et application linéaire).

Mais alors la fonction (l'application ?) linéaire ayant pour l'image 0 plusieurs antécédents est-elle forcément d'équation f(x) = 0 quel que soit x ?

Merci

[Médiat]

Ma question revient donc à "pourquoi 0 serait-il forcément un antécédent de 0" ?

Par exemple, si f est linéaire :

[invite4f80dcbf]

Merci pour ta réponse.

Peux-tu me donner un exemple d'application linéaire où l'image 0 a d'autres antécédents que 0 ?

Merci

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Par exemple :

Il suffit de choisir

[invite4f80dcbf]

Merci !

Une "application linéaire" avec pour 0 plusieurs antécédents est donc forcément du type f(x) = 0...

Une précision s'il-te-plaît :

Quel lien (ne serait-ce que sémantique) entre "application" et "fonction" linéaire ?
Peut-on écrire que cette application linéaire est assimilable à une fonction où f(x) = 0 quel que soit x ?

Je ne distingue pas encore tout à fait fonction et application linéaire.

Grand merci

[invite986312212]

application et fonction sont plus ou moins synonymes.

Traditionnellement on parle de fonction quand l'ensemble d'arrivée est le corps de réels ou celui des complexes. Tu peux utiliser le terme application en toutes circonstances, mais c'est vrai qu "application holomorphe" par exemple sonne un peu bizarre. D'un autre côté on peut dire "application conforme" mais "fonction conforme" est bizarre. Bref, c'est des habitudes de langage qui n'ont pas grand chose à voir avec la nature mathématique des objets en question.

je crois qu'en Anglais les termes "function" et "mapping" sont encore moins interchangeables: "function" est vraiment réservé aux applications réelles ou complexes.