je viens de faire une grande découverte mathématique

[invitea451ee22]

ALLER UN GRAND LOL POUR LE TITRE


non franchement j'ai remarquer un truc(pour moi c'est une découverte car je ne suis pas mathématitien)

bon enfaite je vous demande si ces bien une "découverte", ou si sa deja été trouver, ou meme si sa ne veut rien.

et quelque soit la reponce j'amerai savoir pourquoi sa fait sa.

voila le truc en question.

prenez nimporte quel nombre comprit entre 0 et 100 puis monter le a la puissance de 5 et il y aurra tourjour le dernier chiffre en commun

exemple pour etre plus claire
2^5=32
17^5=1419857
71^5=1804229351

je vient de remarque sa ya tout juste 2mn donc j'ai pas encor vérifier si il ya d'autre truc a constater
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[invitedf667161]

Bonsoir equa tion. Ce que tu as dis est vrai, pour le voir il suffit de travailler modulo 10 pour ne conserver que le chiffre des unités.

Si on vaut x modulo 10, alors par le premier truc de Fermat (x^p=x [p], p premier), on a x^5=x [5] (avec p=5), et x^5=(x^2)^2.x=x.x=x^2=x [2] (avec p=2).
Donc x^5-x est dans 2Z inter 5Z qui est égal 10Z.
Donc x^5=x [10] ; ce qui veut dire que l'unité de x et l'unité de x^5 sont les mêmes dans l'écriture décimale.

EDIT : ce n'est pas inintéressant comme constation, bravo.

[inviteaa8f7e46]

Salut
Dans le meme genre, ya pas longtemps, j'avait remarqué qu'un nombre impair a la puissance 4 (excepté les multiples de 5 impairs) se termine par 1 et que les nombres pairs se terminent par 6 (excepté les multiples de 10).

[invité576543]

Bonjour,

Pour une démonstration (partielle) utilisant des arguments moins lourd que Fermat, on peut partir des développements classiques:



On se convainc facilement que tous les termes sauf celui en bⁿ sont des multiples de 10. Il suffit alors de vérifier que la propriété est vraie pour tous les nombres de 0 à 9 pour être sûr(e) qu'elle est vraie pour tous les nombres.

Donc, quelle que soit la puissance n, la dernière décimale de xⁿ ne dépend que de la dernière décimale de x.

Le cas particulier de n=5 s'explique comme a montré Guyem (Fermat + restes chinois + le fait que xⁿ=x [modulo 2] pour tout n>0, facile à vérifier sur 0 et 1!)

Pour aller plus loin, on peut par exemple se demander pour quelles bases de numérotation il existe une puissance vérifiant la propriété d'égalité du chiffre de poids faible. Le raisonnement proposé par Guyem montre que c'est le cas (la base elle-même) si elle est première (e.g., en binaire ou en base 5), et que c'est le cas (la puissance p) si la base est de la forme 2p, p premier, (cas de la base 10). Quid des autres cas? On peut montrer facilement qu'il n'y a pas de solution pour la base 12, le dernier chiffre pour les puissances successives de 2 modulo 12 étant 2, 4, 8, 4, 8, 4, 8, ...; ni en base 16, les puissances successives de 2 modulo 16 étant 2, 4, 8, 0, 0, 0, ...

Si la base est un produit de 2 premiers, alors la puissance 1+ppcm(p_i-1) est solution, on peut le voir à partir de Fermat et des restes chinois. Par exemple, en base 15, la puissance 5=1+ppcm(2,4) est solution. En base 35, la puissance est 13=1+ppcm(4,6), ce qui montre que ce n'est pas toujours un diviseur de la base... Cela se généralise à toute base produit de nombres premiers tous différents.

On doit pouvoir démontrer (?) que ce n'est pas le cas dès qu'il y a une puissance supérieure à 1 dans la décomposition en facteur premier de la base (ce qui élimine 12 et 16 par exemple).

Conclusion, la propriété trouvée est due à ce que 10 est le produit de nombres premiers tous différents, et que 5=1+ppcm(1,4).

Cordialement,

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea451ee22]

domage je vois que sa na rien d'une découverte
mes bon j'ai d'autre truc dans mes stocke dont une méthode de résolution dont je suis assez fiere.


merci a tous de vos réponce bien que difficile a aborder quand on voit sa la 1er fois, mes trés interressant.