exo en algèbre

[369]

bonjour,
j'aimerai savoir si les exercices que j'ai fait sont justes:
soient F et G 2 sev de E
F U G est un seV ssi F inclus dans G ou G inclus F
pour l'implication vers la gauche pas de problème
vers la droite: j'ai dit soit F inclus dans G et là c'est bon
soit F pas inclus dans G donc il existe f appartenant à F tel que f n'appartienne pas à G. Soit g appartenant G
F U G est un sev donc f+g appartient à F ou à G. cela revient à f dans G ou g dans F. Donc g inclus dans F

Montrer que si l'image de toute famille libre par une application linéaire est libre alors f est injective
j'ai pris f de E dans F
soit {a1,...,an} une famille libre dans E et {f(a1),...,f(an)} une famille libre dans F
x1f(a1)+...+xnf(an)=0F
f(x1a1+...+xnan)=0F
donc (x1a1+...+xnan) appartient à Ker f
or {a1,...,an} est libre donc x1=...=xn=0, donc x1a1+...+xnan=0E
d'ou ker f ={0E} et f est injective


le dernier ou j'ai la correction mais je n'ai pas compris cette correction
G={(x1,x2,x3) dans R³,x1=x2=x3}
F={(x1,x2,x3) dans R³,x1+x2+x3=0}
montrer que F et G sont supplémentaire dans R³

dans la correction il dise que comme F est un hyperplan et comme le vecteur (1,1,1) appartient à G mais pas à F on a ce qu'on veut.
j'ai compris pour l'intersection entre F et G
mais je ne vois pas pourquoi F+G=R³


merci de votre aide
-----

[Tiky]

Le raisonnement de ton deuxième exercice est faux.
Le fait que soit libre dans n'implique pas que toute combinaison de ces vecteurs est nulle.

Je suppose que tu es en dimension finie. Soit une base de .
Tu veux monter que . Soit . Alors il existe tels que . est en particulier une famille libre de .
On sait donc que est une famille libre de . On a évidemment :
et donc . C'est-à-dire . f est bien injective.

[369]

comment as tu su qu'il falait prendre une base de E?

[Tiky]

comment as tu su qu'il falait prendre une base de E?

Pour montrer que est injective, je veux montrer que . Je choisis un vecteur quelconque du noyau et pour exploiter l'hypothèse, j'ai besoin de l'exprimer comme une combinaison linéaire d'une famille libre. Pour garantir l'existence de cette combinaison linéaire, j'ai besoin que cette famille soit génératrice. Il faut donc que je prenne une base de .

[A voir en vidéo sur Futura]

[369]

merci pour ton aide j'ai compris

sinon quelqu'un peut il m'expliquer la correction du dernier exercice?
et mon premier exercice est il bon?

[Tiky]

merci pour ton aide j'ai compris

sinon quelqu'un peut il m'expliquer la correction du dernier exercice?
et mon premier exercice est il bon?

Ton premier exercice est juste.

[God's Breath]

comme F est un hyperplan

et que F+G contient F, on a :
– ou bien F+G=F ;
– ou bien F+G=R³.

Comme on a remarqué que (1,1,1) appartenait à G et pas à F, on élimine la première possibilité.

[Tiky]

est une base de et est une base de . Or est une base de . Il te suffit de montrer que c'est une famille libre. On en déduit que .

En fait c'est la définition de l'hyperplan. est un hyperplan de s'il existe une droite vectorielle , c'est-à-dire un espace vectoriel de dimension 1 tel que : . Ici on a .

En fait la seule chose qui nécessite une démonstration est que est bien un hyperplan. Je t'invite à lire la page Wikipédia correspondante. Et particulier le passage sur les formes linéaires. http://fr.wikipedia.org/wiki/Hyperplan

[369]

j'aurai encore une question
quand utilise t on le raisonnement par condition suffisante pour montrer que E=F+G?

[God's Breath]

Qu'appelles-tu « raisonnement par condition suffisante » ?

[369]

en faite après une recherche c'est la même chose qu'une analyse synthèse
et d'après ce que tu m'as dit dans un autre topic, je pense que j'ai la réponse à ma question