problème dans les matrices

[369]

bonjour,
pouvez vous m'aider à commencer cette exercice car je ne vois pas du tout comment partir:
montrer que toute matrice s'écrit comme la somme d'une matrice symétrique et antisymétrique


merci de votre aide
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[Armen92]

bonjour,
pouvez vous m'aider à commencer cette exercice car je ne vois pas du tout comment partir:
montrer que toute matrice s'écrit comme la somme d'une matrice symétrique et antisymétrique


merci de votre aide

[mimo13]

Salut,

Dans le même contexte: l'application linéaire transposition admet le polynôme comme polynôme annulateur, et avec le théorème de décomposition des noyaux on devrait s'en sortir facilement.

[Tiky]

Salut,

Dans le même contexte: l'application linéaire transposition admet le polynôme comme polynôme annulateur, et avec le théorème de décomposition des noyaux on devrait s'en sortir facilement.

Tu l'adores ce théorème. Je te comprends

[A voir en vidéo sur Futura]

[369]

mais que faites vous exactemant.
Vous n'avez pas trouvez cela au hasard?

[silk78]

Bonjour,
Un petit travail d'analyse-synthèse permet de trouver la formule.

Supposons que M=A+B avec A symétrique (^tA=A) et B antisymétrique (^tB=-B).
On a alors ^tM=^t(A+B)=^tA+^tB=A-B.
En sommant ou en soustrayant les formules de M et ^tM, on obtient : M+^tM=2A et M-^tM=2B.

D'où A=(M+^tM)/2 et B=(M-M)/2.

Silk

[God's Breath]

Vous n'avez pas trouvez cela au hasard ?

Si avec matrice symétrique et matrice antisymétrique, alors :.
On résoud le système constitué de ces deux équations pour calculer et en fonction de et , et on obtient les valeurs annoncées.

Sinon, tu peux, et c'est le sens de la réponse de mimo13, dire que la transposition est une application linéaire telle que , c'est à dire une symétrie par rapport au sous-espace vectoriel , ici les matrices symétriques, dans la direction du sous-espace vectoriel , ici les matrices antisymétriques.
Tu sais que ces deux sous-espaces vectoriels sont supplémentaires, et tu dois connaître la décomposition d'un élément quelconque sur cette somme directe.

[Seirios]

[A supprimer.]

[369]

j'aurai encore une question:
pourquoi utiliser vous la transposée de matrice?
et pourquoi un raisonnement par analyse synthèse?

[God's Breath]

pourquoi utiliser vous la transposée de matrice?

Parce que la définition des matrices symétriques et antisymétriques fait intervenir la transposition.

pourquoi un raisonnement par analyse synthèse?

Quand on ne voit pas immédiatement la solution, c'est un bon réflexe que de commencer par une analyse pour voir comment l'exercice se présente. On développe ainsi plusieurs idées, et la synthèse ne reprend que celles qui interviennent utilement dans la solution.