Problème sur les Matrices

[invite91b393bc]

Bonsoir,

J'ai un exercice sur les matrices à traiter et je bloque à certains endroits voici le sujet :
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Pour la premier question, je suis partie de n=3 et j'ai donc calculé la matrice A, et fait le calcul A-I3, ce qui me donne une matrice de rang = 2 seulement cela ne prouve rien il me semble. Je vois pas trop comment partir pour prouver exactement ce qui est demandé. Quelle matrice A suis-je sensé poser ?

Quant à la question 2 : Je cherche encore, je posterai mes recherches dès que j'aurai plus ou moins aboutit quelque part.

Merci d'avance. =)
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[invitec5eb4b89]

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Pour la premier question, je suis partie de n=3 et j'ai donc calculé la matrice A, et fait le calcul A-I3, ce qui me donne une matrice de rang = 2 seulement cela ne prouve rien il me semble. Je vois pas trop comment partir pour prouver exactement ce qui est demandé. Quelle matrice A suis-je sensé poser ?
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Dans l'ordre, je crois qu'il serait bon de :
- donner une expression plus simple de A - I quel que soit n supérieur à 3
- montrer que toute famille de trois colonnes de A est une famille liée...

Bon courage,
V.

[invite91b393bc]

Qu'entendez vous par donner une expression plus simple de A - I quel que soit n supérieur à 3.

Je sais que In correspond à la matrice unité, les coefficients diagonaux sont donc tous égaux à 1 et les autres à 0.

Quant à la matrice A, si on applique les conditions que l'ont me donne j'en déduis que les coefficients de la colonne 1 et de la ligne 1 seront tous égaux à 1 pour n>3. Et on remarque de plus que les coefficients seront égaux a 0 pour des colonnes et des lignes différentes et à 1 lorsque la ligne et la colonne sont les mêmes. (par exemple ligne 4 colonne 4 = coeff 1).

Ai je bien interprété l'énoncé ?

[invite57a1e779]

Les éléments de la matrice A sont
– des 1 sur la première ligne, sur la première colonne, sur la diagonale ;
– des 0 partout ailleurs.

Il faut que tu arrives à « voir », puis à démontrer rigoureusement, que A-I n'est constitué que de deux colonnes différentes qui sont répétées.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite91b393bc]

ah oui en effet, merci j'ai bien remarqué ce qu'il se passé. C'est le côté démontrer rigoureusement qui va être plus compliqué.

[invite91b393bc]

Je me permet de faire un double post, j'ai réfléchi à la question 2.


A correspond donc à la matrice de l'endormorphisme f dans la base canonique de Kn si j'ai bien compris.

Ainsi je pensais determiner f(E1) en faisant A*E1, d'après une de mes propriétés du cours et idem pour f(E2). Est-ce correct ?

[invite57a1e779]

Tu as parfaitement bien compris.

[invite91b393bc]

Très bien. Merci beaucoup pour votre aide. Je pense finir ça toute seule maintenant. Je reposterai peut être pour avoir quelques indications supplémentaires.