Méthode des trapèzes

[invited00ee48c]

Bonsoir. Pour une fonction continue sur que l'on découpe à l'aide de la subdivision définie par , on pose et .
Montrer que, supposant f suffisamment régulière, on a où est une suite de limite nulle.

Je ne vois pas du tout comment faire
-----

[invite57a1e779]

Soit une primitive de sur , et , alors :

et on développe par la formule de Taylor au point .

[invited00ee48c]

Bonjour. J'ai oublié un facteur 1/2 dans la définition de . Je suppose qu'il s'agit de l'égalité de Taylor-Lagrange ? Je trouve :
pour un certain compris entre et .

De même :
pour un certain compris entre et .

Ainsi :


En utilisant le fait que pour tout i, je trouve :


Donc :


Soit :


Il faut donc prouver que ?

[invite57a1e779]

Effectivement, ce n'est pas concluant.

Il faut utiliser la fonction .

Alors et on utilise la formule de Taylor-Lagrange.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invited00ee48c]

La formule de Taylor-Lagrange pour la fonction ?
Je trouve que : avec

[invite57a1e779]

Oui, mais et ont des expressions particulièrement simples.

[invited00ee48c]

donc
et ici je ne vois pas quelque chose de "simple", à moins d'une erreur ?

[invite57a1e779]

donc
et le calcul de est aussi à revoir.

[invited00ee48c]

Ok.

en c'est bien nulle.
et donc .

Ainsi :

[invite57a1e779]

Il y a une erreur de signe à la fin : et il faut encore revoir la dérivée seconde.

[invited00ee48c]

Décidément !




Donc :

[invite57a1e779]

Donc , et la formule de Taylor à l'ordre 3 doit-être plus intéressante.

[invited00ee48c]

Donc on re-dérive :

Et donc finalement :

[invite57a1e779]

Il vaut mieux appeler le point obtenu dans .

En regroupant le tout : .

Et on peut reconnaître une somme de Riemann de sur .

[invited00ee48c]

Je trouve donc :


On a vu la somme en cours qui admet pour limite si f est de classe .

Donc ici ?

[invite57a1e779]

Attention, il y a qui est caché dans .

Il faut donc écrire :


avec .

Tu peux donc écrire avec , et

ce qui te rapproche de ta solution en posant .

Reste à s'occuper du dernier terme.

[invited00ee48c]

Pourquoi

Edit : en fait, c'est un plus je pense.
Cependant, dans le dernier terme, le on ne sais pas trop le contrôler.

[invite57a1e779]

Pourquoi

Edit : en fait, c'est un plus je pense.
Cependant, dans le dernier terme, le on ne sais pas trop le contrôler.

C'est effectivement une faute de frappe .

On contrôle très bien : il est compris entre et .

[invited00ee48c]

Oui, en effet. Et on a donc donc .
On peut encore utiliser une somme de Riemann, mais j'ai pas l'impression que ça fera avancer la chose.

[invited00ee48c]

Je suis en train de me rendre compte que, dans le but d'obtenir la majoration , on avait déjà étudié la fonction , car .
En avait vu que :

et donc
et donc

Est-ce d'une quelconque utilité ici ?

[invite57a1e779]

Ou donc .

Dans , il y a .
Tu peux majorer la somme des par .
Donc ton majorant est en ; si tu factorises , il te reste qui tend vers 0.

[invite57a1e779]

Je suis en train de me rendre compte que, dans le but d'obtenir la majoration , on avait déjà étudié la fonction...

On veut en fait quelque chose de plus précis qu'une majoration en : on veut un développement .
On est donc en train d'améliorer les calculs précédents.
En fait, aux notations et au signe près, la fonction de ton exercice est ma fonction . Tu étais allé jusqu'à la dérivée seconde , et il faut aller chercher maintenant pour avoir des renseignements plus précis sur .

[invited00ee48c]

Ainsi donc admet pour limite 0 lorsque n tend vers l'infini.
Par conséquent avec une suite de limite nulle.
En conclusion :

[invited00ee48c]

On veut en fait quelque chose de plus précis qu'une majoration en : on veut un développement .
On est donc en train d'améliorer les calculs précédents.
En fait, aux notations et au signe près, la fonction de ton exercice est ma fonction . Tu étais allé jusqu'à la dérivée seconde , et il faut aller chercher maintenant pour avoir des renseignements plus précis sur .

Ok, en poursuivant :
et donc avec l'égalité de Taylor-Lagrange il existe tel que

Alors en sommant :


Donc il faut prouver que l'une des dernières somme est en et l'autre en ?

[invite57a1e779]

Oui, en regroupant tout ce qui tend vers 0 sous la dénomination .

Mais tu as intérêt à rédiger une solution avec la notation de ton énoncé.

[invited00ee48c]

En utilisant ton idée, je vois que :
et qui tend vers 0.

Donc avec une suite de limite nulle.



Ensuite, on pose et ainsi .

On sait que .

Donc avec une suite de limite nulle. Ainsi, avec .

Finalement, avec .

[invite57a1e779]

Oui, c'est ça.

[invited00ee48c]

Merci beaucoup God's Breath, j'ai tout compris.

[invited00ee48c]

Encore une question : on voit que si f est affine, alors . On voit également que .
La majoration est optimale.

Je ne saisi pas la dernière phrase.

[invite57a1e779]

Cela signifie quel'on ne peut pas avoir une majoration
– qui soitvraie pour toute fonction f ;
– et que l'on ait .