Erreur maximal d'une approximation par la méthode des trapèzes

[Seirios]

Bonjour à tous,

On peut calculer approximativement une intégrale entre deux bornes a et b, notamment par la méthode des trapèzes, soit :



L'erreur maximale pouvant être commise est alors donnée par la formule :

, avec .

Mais j'aimerais savoir d'où vient exactement cette formule de l'erreur

Quelqu'un pourrait-il me renseigner ?

Merci d'avance
Phys2
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[invitebfd92313]

Cela vient du fait que pour majorer le reste on utilise :

et la majoration fait apparaître ce genre de quantité.

[Seirios]

Mais d'où vient cette expression, parce que pour moi le problème n'est alors que déplacé ?

[invite57a1e779]

Mais d'où vient cette expression, parce que pour moi le problème n'est alors que déplacé ?

On intègre astucieusement par parties.

D'abord : donc et pour lequel il faut choisir , d'où



Puis donc et pour lequel il faut choisir



et ton résultat, comme par enchantement...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Donc finalement, si on utilise la méthode des trapèzes sur [a,b], en divisant cet intervalle en n sous-intervalles [a,x₁], [x₁, x₂], ..., [x_n-1, b], pour une fonction f dérivable au moins deux fois sur [a,b], on obtient une erreur :



Comment fait-on le lien avec ?

Et Dieu, dans sa colère, pour punir les humains, envoya sur la Terre les mathématiciens.

Jolie citation Une référence particulière ou production personnelle ?

[invite57a1e779]

Bonjour,
[QUOTE=Phys2;1760286]Comment fait-on le lien avec ?

Si l'on a sur l'intervalle d'intégration, l'erreur sur le calcul de l'intégrale est majorée, en valeur absolue par

Lorsque l'on ajoute les intégrales, le cumul des erreurs conduit à une majoration de l'erreur totale par

[Seirios]

D'accord, merci beaucoup !

Je vais essayer d'effectuer le même raisonnement avec d'autres méthodes d'approximation d'intégrales, et je reviendrai si j'ai des problèmes