démonstration sur les matrices !!!

[invitee0cc8045]

Bonjour a vous tous,

Je vous présente un exercice, mon raisonnement mais je bloque, et j’aimerai qu’on m’oriente. On doit le faire en moins de 12 minutes. (Pour idée)
Supposons A=[Aij] soit de l’ordre n et singulière
Montrez qu’il existe toujours une matrice B=[Bij] tel que AB=0
Ecrivez l’equation AB=0 comme système des équations linéaires et argumentez à l’aide des vecteurs qui forment les colonnes de B)
Dans un premier temps, je suis parti de l’idée que si elle est singulière les vecteurs sont liés, car non inversible donc déterminant=0.
La, je me pose plusieurs questions, est ce qu’il faut faire une récurrence, ou une démonstration par l’absurde. Et même si c’est le cas je me dois d’avouer que je ne suis pas assez armé pour réussir.
Pouvez-vous m’aiguiller ?

Merci a tous
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[invitec317278e]

La matrice nulle convient parfaitement, et tu n'as PAS exclu ce cas.

[invitee0cc8045]

si, j'ai tout de suite pensé a la matrice nul, mais ca ne résoud pas tous les cas non ?

[invitec317278e]

Pourquoi donc ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitee0cc8045]

si c'est vrai, c'est vraiment si simple que ca ?

[invitee0cc8045]

je répond pcq la matrice nul est l'élement absorbant et c'est fini...

merci merci...

[invite5c27c063]

Je conviens que B = 0 convient stricto sensu a l'enonce tel qu'il est mais je penche pour une omission dans l'enonce.

Au dela du cas trivial B = 0 qui convient evidemment (qui conviendrait aussi sans propriete particuliere pour A), je dirais que si det(A) = 0, son noyau n'est pas reduit a {0} et que toute matrice B dont les colonnes sont des vecteurs du noyeau verifiera AB = 0

[invitee0cc8045]

Ah, en effet, je comprends tout a fait la ou tu veux en venir... ! !

merci bcp

[invite11568c71]

je dirais que si det(A) = 0, son noyau n'est pas reduit a {0}

Quel est le lien entre le déterminant et le noyau ???

[invite5c27c063]

Quel est le lien entre le déterminant et le noyau ???

Si le determinant est nul, l'application lineaire n'est pas injective donc son noyau n'est pas reduit a {0}... Non ? (cela dit ca remonte a quelques annees donc je suis un peu rouille sur le sujet...)

Autre maniere de la voir, det(A) = 0 donc 0 est valeur propre donc il existe un vecteur non nul tel que Ax= 0 donc le noyau n'est pas reduit a {0}.

[invite11568c71]

Très intéressant merci...