propriétés intéressantes d'UNE SUITE de polynômes orthogonaux

[invitefdd5e75d]

Bonjour,

Quels sont les propriétés intéressantes que possèdent une suite de polynômes orthogonaux?
(en dehors qu'un polygone de la suite peut-être exprimé par une combinaison linéaire des polynômes de degrés inférieure.)
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[taladris]

Bonjour,

Quels sont les propriétés intéressantes que possèdent une suite de polynômes orthogonaux?
(en dehors qu'un polygone de la suite peut-être exprimé par une combinaison linéaire des polynômes de degrés inférieure.)

La propriété entre parenthèses est clairement fausse (en tout cas si, comme je le suppose, "degré inférieur" signifie "degré strictement inférieur").

Il aurait, je pense, été plus judicieux de poster tes questions dans un seul sujet.

[invitefdd5e75d]

La propriété entre parenthèses est clairement fausse (en tout cas si, comme je le suppose, "degré inférieur" signifie "degré strictement inférieur").

Cette propriété vient du lemme 1 sur le site de wikipédia

http://fr.wikipedia.org/wiki/Polyn%C...es_orthogonaux

L'aurais-je mal comprises? Ou avez vous fait une erreur?

Il aurait, je pense, été plus judicieux de poster tes questions dans un seul sujet.

Merci du conseil, mais en général les chartes des forums exigent une question par poste et cela me permet d'avoir un vu plus claire sur les réponses que je peux obtenir!

[invite6f25a1fe]

Bonjour,

Quels sont les propriétés intéressantes que possèdent une suite de polynômes orthogonaux?
(en dehors qu'un polygone de la suite peut-être exprimé par une combinaison linéaire des polynômes de degrés inférieure.)

Ca me semble être une question très vaste. Ca va être difficile de répondre, sauf si tu as une question particulière qui s'y rattache.

Sinon, les propriétés des suites de polynômes orthogonaux permettent souvent de créer des bases pour les fonctions. Etant une base, on peut donc exprimer cette fonction comme somme pondérée des éléments de la suite. Ceci aboutit alors à la transformée de Fourier par exemple, ou encore aux approximation des fonctions par les polynomes (cf. approximation de Lagrange etc...)

P.S : tu voulais peut être plus des propriétés que des utilisations, non ? Tu cherches quoi comme propriété exactement ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitec317278e]

Cette propriété vient du lemme 1 sur le site de wikipédia

http://fr.wikipedia.org/wiki/Polyn%C...es_orthogonaux

L'aurais-je mal comprises? Ou avez vous fait une erreur?



Merci du conseil, mais en général les chartes des forums exigent une question par poste et cela me permet d'avoir un vu plus claire sur les réponses que je peux obtenir!

sur la page wikipédia, S est de degré n, et on l'exprime en fonction, entre autre, de p_n, ie un polynôme de degré n.
toi, tu affirmes qu'un polynôme de degré n peut etre obtenu en sommant des polynômes de degré inférieurs ou égaux à n-1...
ce n'est donc pas une conséquence du lemme, et c'est faux.

[taladris]

Cette propriété vient du lemme 1 sur le site de wikipédia

http://fr.wikipedia.org/wiki/Polyn%C...es_orthogonaux

L'aurais-je mal comprises? Ou avez vous fait une erreur?

ta phrase était ambigu et j'ai répondu un peu vite. J'aurais dû dire que c'était imprécis. En fait, cela dépend de ce qu'on entend par inférieur: "strictement inférieur" ou "inférieur ou égal".

Ce qui est vrai est le résultat suivant:
"Si (P_0,...,P_n) est une famille de polynômes tels que deg(P_i)=i, alors c'est une base de l'espace des polynômes de degré inférieur ou égal à n". Note que l'orthogonalité n'intervient pas dans la propriété.

Merci du conseil, mais en général les chartes des forums exigent une question par poste et cela me permet d'avoir un vu plus claire sur les réponses que je peux obtenir!

Simple avis personnel. Les questions étant proches, il est peut-être possible de répondre à plusieurs d'entre elles en un seul message.

[invitec317278e]

ta phrase était ambigu et j'ai répondu un peu vite. J'aurais dû dire que c'était imprécis. En fait, cela dépend de ce qu'on entend par inférieur: "strictement inférieur" ou "inférieur ou égal".

en même temps, si sa phrase était "inférieur ou égal", le résultat devenait complètement trivial, ce qui laissait supposer l'inégalité stricte, ou une vision large de la définition des mots "propriétés intéressantes"...

[invitefdd5e75d]

J'ai trouvé de nouvelles propriétés sur lesquels je m'interroge...

Propriété de récurrence:
tous polynômes d'une suite orthogonale peuvent s'exprimer par une relation avec les deux polynômes qui les précédent dans la suite.

Les coefficients a, b, et c dépendent du degré n (et aussi de la standardisation).
1) comment fait ton pour trouver les valeurs des coefficients?

Propriété de base orthogonale:
Une suite de polynômes orthogonaux est forme une base orthogonale pour un espace vectoriel.
2) comment fait-on pour passer des polynômes à une base orthogonale de vecteur?


Réponse possible
2) les vecteurs ont pour point de départ "l'origine du repère" et pour point d'arrivé "les coordonnées des polynômes" (ex: (x²,x,1)), Le problème c'est que les vecteurs construit ainsi ne sont pas orthogonaux deux à deux (dans le cas des polynômes de Lagrange par exemple).

[invite6f25a1fe]

Il faut prendre le mot "vecteur" et "produit scalaire" au sens large.
Une fonction f(x) est un vecteur de l'espace des fonctions (il en existe plusieurs). Par exemple, prenons l'exemple de l'espace des fonctions périodiques E. Une fonction périodique sera un vecteur de cet Espace vectoriel.

On peut sur cet espace définir un produit scalaire (ce produit ce traduit par une intégrale). Pour rappel, la définition générale d'un ps est : forme bilinéaire symétrique définie positive.

Il se trouve qu'on peut trouver une base orthogonale de cet espace E des fonctions périodiques. ca veut dire qu'on peut exprimer toutes les fonctions f(x) comme une simple combinaison de vecteurs de base : c'est la théorie de Fourier. Ces vecteurs de base sont orthonormée par rapport au produit sclaire choisit précédemment : on a formée du base orthogonale.

Tu peux faire ceci avec d'autres espaces de fonctions en trouvant une base orthogonale qui permet de décomposer tes vecteurs (donc ici tes fonctions). Tu peux par exemple le faire avec des polynomes bien choisis

[invitefdd5e75d]

Merci Scorp!

C'est incroyable, j'avais une partie de la réponse déjà en moi puisque j'ai déjà étudié la théorie de Fourier (merci d'avoir choisi cette exemple).

Cependant , j'ai encore quelques questions:
1) peut-on donner une interprétation graphique à une base vectoriel construire à partir de polynôme orthogonaux ?
(par exemple, chaque axe représenteraient un polynôme de la base et les valeurs sur chaque axe correspondraient aux coefficient de ce polynôme)

2) tous polynômes d'une suite orthogonale peut s'exprimer par une relation avec les deux polynômes de degrés inférieurs.

comment fait ton pour trouver les valeurs des coefficients?

3) La propriété de récurrence des polynôme orthogonaux fait intervenir un facteur x dans le coefficient à partir de là il me semble de manière intuitive qu'un polynôme orthogonaux pourrait s'exprimer dans une base vectoriel formée à partir de polynôme non orthogonaux.
Si c'est possible alors qu'elle est utilité que les polynômes qui forment la base soient orthogonaux?