Variétés stables/instables

[julien_4230]

Bonjour,

On a : ,
où les et sont respectivement les variétés stables et instables.

Pour n=2, je n'ai pas compris comment on détermine et , par exemple pour le système :




Ce système admet deux points fixes, dont .

On a la matrice Jacobienne au point fixe :



Je ne comprends pas la phrase suivante :

"A l'approximation linéarie , la varéiét stable correspondant à la valeur propre -1 est la droite y=-1 (pourquoi?) et la variété instable correspondant à la valeur propre 2 est la droite x=0 (pourquoi?)."

Merci de m'aider, mon livre n'est pas clair là-dessus...
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[julien_4230]

Si j'ai bien compris, les et sont resp. sous-espaces caractéristiques des valeurs propres à parties réelles négative et positive.

Si je calcule et , je devrais retrouver ce que dit la phrase entre " ". Pourtant pour la variété stable , amène à y=0, pas y=-1 !

...

[julien_4230]

elle a effectué une linéarisation, en fait selon la définition 1.1...

bon sang, il faut le suivre, ce livre (Pierrette Benoist-Gueutal) !...

[Arkhnor]

Bonjour.

Tu as très bien compris, on obtient le sous-espace stable en prenant la somme directe des sous-espaces caractéristiques associés aux valeurs propres de parties réelles strictement négatives, et le sous-espace instable s'obtient de même avec les valeurs propres de parties réelles strictement positives.

Il faut bien voir que les sous-espaces (in)stables sont des sous-espaces vectoriels. (donc, ça correspond à ce que tu trouves)
Alors que les variétés (in)stables sont des objets "affines". Quand on regarde les variétés (in)stables, on place donc l'origine au point d'équilibre, donc ici en .

En particulier, le sous-espace stable devient donc, une fois l'origine translatée en , la droite .

Mais je reconnais que c'est un peu étrange, quand on regarde les sous-espaces (in)stables du linéarisé du système, on considère généralement les sous-espace vectoriels, et non pas les sous-espaces affines. C'est lorsqu'on revient au système de départ que l'on replace l'origine au point d'équilibre.
Quel est le livre sur lequel tu travailles ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Arkhnor]

Bon, je vois que tu as finalement trouvé tout seul la réponse à ta question.

Je connais pas le livre dont tu parles, j'irai le consulter un de ces jours.

[julien_4230]

Salut, merci de votre réponse !

En fait cela ne pose pas de problème de translater le système, car le système et système translaté sont topologiquement équivalents, donc ils ont qualitativement le même portrait de phase.

Tout ceci vient du cours "Mathématique pour la physique : étude qualitative des systèmes dynamiques" un truc du genre, de Pierrette Benoist-Gueutal, éd. De Boeck. C'est un livre de math, plutôt rigoureux, qui a la même rigueur qu'un livre de mathématiques pour mathématiques. Elle dit qu'il s'agit d'un introduction aux "mathématiques du Chaos"... Cool non ? lol

[Arkhnor]

Moi non plus, ça ne me dérange pas de translater, il faut juste ensuite être cohérent avec ses notations.

Les systèmes dynamiques sont effectivement la porte d'entrée pour l'étude des phénomènes chaotiques. Le livre que tu étudies a peut-être déjà mentionné les attracteurs étranges, comme celui de Lorentz.
Outre les systèmes dynamiques différentiels, il y a aussi les systèmes discrets, comme par exemple les systèmes dynamiques holomorphes, qui sont à l'origine des ensembles dit de Mandelbrot et de Julia.

[julien_4230]

Oui, je suis un peu écoeuré car le cours de Chaos que j'ai choisi est clairement pas cela. C'est de la physique non-linéaire tout crachée, qui ne parlera jamais de variété... Cela ne devrait pas s'appeller ainsi... Dommage, vraiment très dommage !...