Forme normale de jordan

[invite340b7108]

Bonjour,

Est-ce que quelqu'un pourrait me dire si ma méthode est bonne pour trouver la forme normale de jordan. Je l'ai trouvé sur internet parce que je n'ai aucun exercice dessus avec mes cours.

Soit A la matrice . Je calcule le polynome caractéristique :

--> 2 est une valeur propre de A et son ordre de multiplicité est 3.

Soit

Je trouve donc le sous espace propre E associé à la valeur propre 2 est le plan vectoriel dont une base est donné par les vecteurs et .

Soit

est de rang 1 donc
Donc la forme normale de Jordan sera constitué de 2 blocs de jordan.

donc , le bloc le plus grand sera de taille 3

La forme normale de jordan est de la forme !


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[Seirios]

Bonjour,

Juste une remarque :

Soit

est de rang 1 donc
Donc la forme normale de Jordan sera constitué de 2 blocs de jordan.

La dimension de ker(M) correspond à la dimension du sous-espace propre de A associé à la valeur propre 2, et tu as déjà montré que cet espace était un hyperplan, donc de dimension 2.

[invite340b7108]

Ah oui, c'est vrai ^^

Et sinon, la méthode est bonne ? Je peux faire la même chose avec d'autres matrices ?

[inviteaf1870ed]

En partant d'une matrice 3x3 tu ne peux pas arriver à une matrice 4x4 !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite340b7108]

Ah... Bon, alors quelle est la vraie méthode ? Celle là, je l'avais trouvé sur internet..

[invite340b7108]

Aaaaah non, en fait je me suis trompée. Le bloc le plus grand doit être de taille
donc la matrice sera de la forme

[Seirios]

Tu aurais encore le lien de cette méthode ? (ce sera plus facile pour vérifier)

[invite340b7108]

Ca vient en faite d'un pdf :

http://math.univ-lyon1.fr/~gelineau/...03_Corrige.pdf

[invite57a1e779]

donc , le bloc le plus grand sera de taille 3

Le raisonnement exact ne serait-il pas : donc , le bloc le plus grand sera de taille 2 ?

[Seirios]

De ce que j'ai compris de la méthode (je me place dans le cas où A n'a qu'une seule valeur propre, sinon il suffit de raisonner par bloc) : On pose , avec la valeur propre de A. Dans la base de réduction de Jordan de la matrice A, on remarque que , avec r le nombre de blocs et les qui correspondent aux matrices composées de zéros sauf sur la "diagonale" au-dessus de la vraie diagonale où il y a des 1. Or pour tout i, , donc finalement, . Ensuite, M est évidemment nilpotente (elle est triangulaire strictement supérieure dans la base de réduction de A), donc son indice de nilpotence correspond à l'indice de nilpotence du plus gros bloc dans son écriture dans la base de réduction de A, ce qui correspond également au plus gros bloc de A dans sa réduction de Jordan.

Cette méthode marche bien pour r=1 ou r=2 et certains cas pour des r supérieurs (par exemple lorsqu'on trouve un gros bloc et que les autres doivent nécessairement être de taille 1), mais elle n'est pas systématique dans les autres cas.