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forme de Jordan/réduction de Jordan ???



  1. #1
    herman

    forme de Jordan/réduction de Jordan ???


    ------

    Bonjour,

    Je dois mettre des matrices sous la forme de Jordan dans un exercice.

    Nous avons vu en cours que cela correspondait à la diagonale au dessus de la diogonale centrale et que cette diagonale devait comportait des 1 et 0 uniquement.

    Sur wiki cela semble être différent...

    Quelle est la bonne forme ?

    -----

  2. Publicité
  3. #2
    invite43219988

    Re : forme de Jordan/réduction de Jordan ???

    Une matrice sous forme de Jordan, c'est une matrice composée de blocs de Jordan il me semble (c'est dans l'article wiki que tu as vu)
    Or si tu considères une valeur propre de multiplicité 1, elle n'a pas nécessairement de 1 au dessus d'elle-même. En effet, le bloc de Jordan associé est un bloc 1x1 d'élément la valeur propre en question.
    Regarde dans les deux exemplees sur wiki :
    dans le premier, 5 est vp de multiplicité 4 et il y a des 1 partout au dessus de la diagonale car ta matrice est constitué d'un seul bloc de Jordan.
    En revanche dans l'exemple 2, 5 est vp de multiplicité 2, et 1 et 2 sont vp de multiplicité 1. Le premier bloc 2x2 de la matrice finalement obtenu est un bloc de Jordan avec des 1 donc au dessus de la diagonale. En revanche, les deux autres blocs de Jordan sont de taille 1x1 d'éléments la vp 2 pour le premier et la vp 1 pour le deuxieme.
    Comme tous les autres éléments de la matrice de Jordan finalement obtenue sont nuls, il n'y a pas de 1 au dessus du 2, ni du 1.

    Je sais pas si t'as compris c'est pas très clair... En gros y'a des 1 au dessus de la diagonale d'un bloc de Jordan (un bloc associé à une seule valeur propre donc).
    C'est pas très bien expliqué mais bon.

  4. #3
    homotopie

    Re : forme de Jordan/réduction de Jordan ???

    Une matrice sous forme de Jordan est une matrice constituée de blocs de Jordan (wiki).
    Si elle est ainsi seule la diagonale centrale et la diagonale juste au-dessus peuvent avoir autre chose que des zéros, la seconde ne pouvant avoir que des 1 en plus des zéros.
    Une matrice qui vérifie ce qui précède n'est pas nécessairement sous forme de Jordan, contre-exemple :

    On peut la diagonaliser,, la forme diagonalisée sera de Jordan.

  5. #4
    invite43219988

    Re : forme de Jordan/réduction de Jordan ???

    Et donc une matrice diagonalisable de valeur propre 2 de multiplicité 2 ne peut pas être mise sous forme de Jordan ? Tiens j'ai capté un truc !

  6. A voir en vidéo sur Futura
  7. #5
    homotopie

    Re : forme de Jordan/réduction de Jordan ???

    Citation Envoyé par Ganash Voir le message
    Et donc une matrice diagonalisable de valeur propre 2 de multiplicité 2 ne peut pas être mise sous forme de Jordan ? Tiens j'ai capté un truc !
    Pourquoi ?

    est sous forme de Jordan, les blocs de Jordan sont deux matrices 1x1 : (2).
    Pour préciser plus : pour un endomorphisme f d'un ev de dimension 2 vérifiant (f-2Id)²=0, deux possibilités :
    f-2Id=0->la matrice de Jordan est la diagonale ci-dessus
    f-2Id non nul->la matrice de Jordan est

    qui est constitué d'un seul bloc.
    Cette dernière diffère de celle de mon 1er post par le fait que "1" sur la seconde diagonale est au-dessus et à droite de la même valeur propre 2.

  8. #6
    invite43219988

    Re : forme de Jordan/réduction de Jordan ???

    Bah ce que je lis sur wiki, c'est qu'une matrice de Jordan est constitué de blocs de Jordan associés chacun à une valeur propre différente a priori.
    Ca voudrait donc dire qu'on ne peut pas voir la matrice
    (2 0)
    (0 2)
    comme une matrice constituée de deux blocs de Jordan associés tous deux à la même valeur propre !
    Si ?

  9. Publicité
  10. #7
    homotopie

    Re : forme de Jordan/réduction de Jordan ???

    Différentes a priori mais qui peuvent être égales a posteriori.
    Il est d'ailleurs préciser que plusieurs peuvent avoir la même valeur.

  11. #8
    invite43219988

    Re : forme de Jordan/réduction de Jordan ???

    Exact je n'avais pas vu ! Merci bien !

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