espaces métriques et adhérence
Bonjour à tous,
j'ai une question dans un exercice sur laquelle je sèche complètement.
en utilisant la distance euclidienne sur R^2 déterminez l'adhérence dans R^2 du sous ensemble
A={(x1,x2)€R^2 tq X1>0 , x2=sin(1/x1)}
est-ce que quelqu'un pourrait juste me dire comment commencer?
merci d'avance. bon dimanche à tous
Bonjour,
Un point appartient à l'adhérence de A si, et seulement si, il est limite d'une suite de points de A.
c'est une définition que je n'avais pas dans mon cours
du coup j'ai un peu de mal à voir comment l'exploiter. D'autant que sin(1/x) se comporte comme un sinus normalement donc n'a pas de limite....
la seule définition que j'ai pour l'adhérence da A dans l'expace métrique (X,d)c'est: l'ensemble des point x€X tq l'intersection de A et la boule centrée en x et de rayon epsilon est différente de l'esemble vide pour tous les epsilons strictement positifs.
Le mieux est d'essayer de deviner le résultat avant de le démontrer : ton ensemble, c'est en fait le graphe d'une fonction ; essaie de le dessiner.
Pour t'aider à voir les choses, tu peux voire l'adhérence de la façon (très) informelle suivante :
on commence par la boule ouverte = {(x,y) dans R² tq d((x,y),0) <1}
L'adhérence de la boule ouvert, c'est la boule ouverte à la quelle on ajoute le "bord", c'est à dire :
Par "extension", l'adhérence d'un ensemble, c'est l'ensemble en question "plus" le "contour" de l'ensemble.
Une fois que tu auras trouvé "intuitivement" l'adhérence de ton A, tu prends un point dedans, et tu tentes de vérifier la propriété de ton cours.
Bon courage !
intuitivement je dirais que l'adhérence d'un graphe est le graphe lui même. mais je me méfie de mes intuitions surtout sur un concept comme celui ci que je ne maitrise pas. Dans ce cas, je pourrais plutôt tenter de montrer que A est fermé.
est-ce que je pense bien?
Tu te trompes, il y a des points de l'axe Oy qui sont adhérents à A.
Malheureusement, A n'est pas trop fermé ... Si tu regardes ton graphe, tu dois voir que la courbe oscille de plus, et de plus en plus près de l'axe des ordonnées, à tel point qu'on a l'impression que la courbe va se "coller" à l'axe des ordonnées à la limite. L'adhérence est "donc".
As tu compris le raisonnement "intuitif" ? Si oui, il faut maintenant mettre les mains dans le camboui et tripoter tes amis les epsilon pour le montrer de façon formelle
apparement je n'ai pas compris le raisonnement intuitif puisque selon le mien l'adhérence était A...
et en plus je n'ai pas du tout un graphe qui va se coller à l'axe des ordonnées mais à l'axe des abscisses.... J'ai du atteindre mon niveau de saturation où je ne fais plus que des bêtises
J'irai jusqu'à :Envoyé par sebsheep
L'adhérence est "donc"
dans mon ennoncé x1 est stictement positif. on peut le prendre quand même dans l'intervalle [-1,1] pour l'adhérence??
Je rectifie :J'irai jusqu'à :
L'adhérence contient un segment sur l'axe des ordonnées.
c'est impressionant et vous arrivez à voir ça intuitivement?! ou il y a une astuce pour visualiser la chose
