[TS+] Introduction à la topologie des espaces métriques (2)

[inviteaeeb6d8b]

Bonjour,

ce sujet fait suite à : http://forums.futura-sciences.com/ma...metriques.html

Soit un espace métrique.

Soit un sous ensemble de . On dit que est un ouvert de pour la distance si pour tout point de il existe une boule ouverte centrée en incluse dans .

Question 1
est-il un ouvert ?
est-il un ouvert ?

Question 2
Montrer qu'une boule ouverte est un ouvert.

Question 3
Existe-t-il un espace métrique tel que (avec ) soit un ouvert ?

 Cliquez pour afficher

Regarder dans le fil précédent.

Soit un sous-ensemble de . On dit que est un fermé de pour la distance si le complémentaire de dans est un ouvert.

Le complémentaire de dans se note et est défini par :


Question 4
Que dire de et de ?

Question 5
Donner un exemple d'ensemble qui ne soit ni ouvert, ni fermé.

 Cliquez pour afficher

On peut commencer par choisir l'espace métrique muni de la distance induite par la valeur absolue.

On définit maintenant la boule fermée de centre et de rayon , notée , définie par :


Question 6
Une boule fermée est-elle ouverte ?


Voilà pour les premières questions
-----

[inviteaeeb6d8b]

Soient un sous-ensemble de et une distance sur .

Soit . est dit intérieur à s'il existe une boule ouverte centrée en incluse dans .

L'ensemble des points intérieurs à est appelé l'intérieur de et est noté .

Question 7
Quel est l'intérieur d'une boule fermée ?
Que dire d'un ensemble qui est égal à son intérieur ?
Et d'un ensemble qui diffère de son intérieur ?

Question 8
Soit muni de la distance induite par la valeur absolue :
Existe-t-il une partie de d'intérieur vide.
Existe-t-il une partie de de cardinal infini et d'intérieur vide.

[Seirios]

Bonjour,

Voici mes propositions de réponse ; si nécessaire, je pourrai compléter mes réponses (je pense notamment à la première question, je ne sais pas si ce que j'ai dit sera suffisant).

Question 1 :

 Cliquez pour afficher

Prenons un contre-exemple : choisissons un espace topologique tel que et E est une boule fermée de de centre c, c’est-à-dire . Il n’existe par de boule ouverte centrée en telle que .

Pour la seconde question, je dirais que la question n’a pas de sens, puisque l’on ne peut parler de boule que s’il y a un centre.

Question 2 :

 Cliquez pour afficher

La boule ouverte est ouverte si et seulement si ; or équivaut à , c’est-à-dire .

On a , d’où par l’inégalité triangulaire : , soit ; Le choix de r’ étant arbitraire, posons ; alors . Mais lorsque puisque ; ainsi , c’est-à-dire que devient .

Donc une boule ouverte sur un espace topologique est un ouvert.

Question 3 :

 Cliquez pour afficher

On peut choisir l’espace topologique défini dans ma réponse au premier exercice, tel que E soit centré en x. Sinon l’on doit pouvoir choisir .

Question 4 :

 Cliquez pour afficher

Question identique à la question 1, puisque .

Question 5 :

 Cliquez pour afficher

Au départ, j’ai trouvé un exemple dans , mais en voyant l’indication, il est effectivement plus simple de travailler dans . Soit donc l’espace topologique , avec ; soit . En effet, U n’est pas ouvert, puisqu’il n’existe pas de boule ouverte centré en r telle qu’elle soit incluse dans U, et il en est de même pour au point .

Question 6 :

 Cliquez pour afficher

Voire contre-exemple du premier exercice.

Question 7 :

 Cliquez pour afficher

On doit avoir ; ensuite, je dirais que si et seulement si U est un ouvert ; on en déduit que si et seulement si U n'est pas un ouvert, sinon je ne vois pas ce que l'on pourrait dire d'autre.

Question 8 :

 Cliquez pour afficher

L'ensemble possède un intérieur vide. Pour la seconde question, on doit pouvoir choisir .

[invite1237a629]

Phys2,

Ton truc est illisible :s
Il faut que tu prévisualises avant de poster... et lorsque tu prévisualises, comme les spoilers ne peuvent pas être vus, ne mets les spoilers qu'en dernier.

T'as l'air d'avoir une apostrophe bizarre... et ça a l'air d'être ça qui rend ton truc illisible. Utilise x^\prime :

ou bien cette apostrophe là : ' (sur un clavier français, c'est la touche 4)

ou bien encore x^, :

[A voir en vidéo sur Futura]

[Seirios]

Je prévisualise toujours mes messages Personnellement, il n'y a aucun problème de mon côté.

[invite9a322bed]

En effet, c'est le latex du forum qui bug....(Phys2, je travaille sur ta formule elle est chaude disdonc ! )

[g_h]

On dit que est un ouvert de pour la distance si pour tout point de il existe une boule ouverte centrée en incluse dans .

Au cas ou ça puisse servir, je me permets de préciser que cette "définition" devrait idéalement être vue comme un théorème, et que la définition d'un ouvert se fait plus généralement, sur des espaces qui ne sont pas forcément des espaces métriques, et est implicitement liée à la définition de "topologie".

Je dis ça dans un but pédagogique (car on dirait bien que certains ici vont passer par la case "étude des maths"), en effet, le fait de définir d'abord les ouverts dans le cas des espaces métriques en a dérouté plus d'un par la suite, en abordant la définition générale, car la représentation que l'on se fait mentalement d'un ouvert dans les espaces métriques n'est pas adaptée en général, et ça peut devenir une source d'erreurs d'appréciation et de raisonnement !

Tout ça pour dire : gardez-bien à l'esprit que ce qui est énoncé est bien une propriété dans le cas particulier des espaces métriques, et non une véritable définition

(Romain-des-Bois je ne doute absolument pas que tu sais déjà tout cela, je dis ça pour les futurs taupins (quoique il me semble que dans les programmes, c'est plus du niveau L3 que prépa) )

[inviteaeeb6d8b]

Bonjour,

à g_h :

Au cas ou ça puisse servir, je me permets de préciser que cette "définition" devrait idéalement être vue comme un théorème, et que la définition d'un ouvert se fait plus généralement, sur des espaces qui ne sont pas forcément des espaces métriques, et est implicitement liée à la définition de "topologie".

On est d'accord pour cela.

(Romain-des-Bois je ne doute absolument pas que tu sais déjà tout cela, je dis ça pour les futurs taupins (quoique il me semble que dans les programmes, c'est plus du niveau L3 que prépa) )

Si je me rappelle bien, en prépa, on fait uniquement de la topologie des espaces vectoriels normés. En L3, j'ai d'abord vu la topologie des espaces métriques puis la "vraie" topologie.

Comme d'habitude : on part d'un cas particulier, et on généralise au fil des années.

Merci pour ton commentaire

à Phys2 : je corrige dans un prochain message.

[inviteaeeb6d8b]

à Phys2

Remarque générale : tu parles d'espaces topologiques comme s'il s'agissait d'espaces où est une topologie sur alors qu'il s'agit juste d'espaces métriques. Ne brûlons pas les étapes.

Question 1

Tu fais une erreur dans ton raisonnement. Quand on travaille sur un espace métrique, représente le "tout".

Dans ton raisonnement, tu te donnes et tu travailles sur . On peut faire cela (on parle de distance/topologie induite) mais il faut alors considérer que est le "tout" (il n'y a "rien" à l'extérieur de ).

Soient un point de et un réel strictement positif, et la distance euclidienne.
On pose .

Si on travaille sur l'espace métrique , le complémentaire de c'est le vide.

(Un peu comme quand on dit qu'une équation du second degré n'admet pas de solution. Tout dépend de l'espace sur lequel on travaille.)

Pour la seconde question, je dirais que la question n’a pas de sens, puisque l’on ne peut parler de boule que s’il y a un centre.

Si, si ça a un sens

De manière générale, toutes les propositions débutant par sont vraies. Tu vas voir tout ça bientôt.

Question 2

 Cliquez pour afficher

La boule ouverte est ouverte si et seulement si ; or équivaut à , c’est-à-dire .

On a , d’où par l’inégalité triangulaire : , soit ; Le choix de r’ étant arbitraire, posons ; alors . Mais lorsque puisque ; ainsi , c’est-à-dire que devient .

Donc une boule ouverte sur un espace topologique est un ouvert.

Là aussi, tu fais une erreur dans ton raisonnement. Qui est ? Car c'est là tout l'enjeu de l'exercice ! Montrer que existe.

Ici, tu montres que si tu as trouvé le bon alors les points de la boule de centre et de rayon sont dans la boule de centre et de rayon .


Pour montrer qu'une boule ouverte est un ouvert : soit . Montrer qu'il existe tel que .

Pour montrer qu'un tel rayon existe, le mieux est d'en expliciter un (ie dire : si on prend alors ça marche)


Question 5

 Cliquez pour afficher

Soit donc l’espace topologique , avec ; soit . En effet, U n’est pas ouvert, puisqu’il n’existe pas de boule ouverte centré en r telle qu’elle soit incluse dans U, et il en est de même pour au point .

OK

Question 7

On doit avoir

Oui, mais prouve le ! (ce n'est pas forcément difficile)

je dirais que si et seulement si U est un ouvert

Une preuve ? (ce n'est pas difficile)

si et seulement si U n'est pas un ouvert, sinon je ne vois pas ce que l'on pourrait dire d'autre.

Bien. Par exemple, il ne fallait surtout pas dire que si alors est un fermé.

Question 8

 Cliquez pour afficher

L'ensemble possède un intérieur vide. Pour la seconde question, on doit pouvoir choisir .

Bien.

[inviteaeeb6d8b]

Question 3

On peut choisir l’espace topologique défini dans ma réponse au premier exercice, tel que E soit centré en x.

Tu auras compris que ça ne convient pas.

Sinon l’on doit pouvoir choisir .

Là c'est bon

Question 4

Question identique à la question 1, puisque .

Quand tu auras répondu à la question 1, tu pourras revenir sur cette question.


Question 6

Voire contre-exemple du premier exercice.

Idem

Bon courage !

[Seirios]

Remarque générale : tu parles d'espaces topologiques comme s'il s'agissait d'espaces où est une topologie sur alors qu'il s'agit juste d'espaces métriques. Ne brûlons pas les étapes.

Il me semblait avoir lu espace topologique

Question 1

Tu fais une erreur dans ton raisonnement. Quand on travaille sur un espace métrique, représente le "tout".

Dans ton raisonnement, tu te donnes et tu travailles sur . On peut faire cela (on parle de distance/topologie induite) mais il faut alors considérer que est le "tout" (il n'y a "rien" à l'extérieur de ).

Soient un point de et un réel strictement positif, et la distance euclidienne.
On pose .

Si on travaille sur l'espace métrique , le complémentaire de c'est le vide.

(Un peu comme quand on dit qu'une équation du second degré n'admet pas de solution. Tout dépend de l'espace sur lequel on travaille.)

D'accord, je vais reprendre le raisonnement.

Question 2

Là aussi, tu fais une erreur dans ton raisonnement. Qui est ? Car c'est là tout l'enjeu de l'exercice ! Montrer que existe.

Ici, tu montres que si tu as trouvé le bon alors les points de la boule de centre et de rayon sont dans la boule de centre et de rayon .


Pour montrer qu'une boule ouverte est un ouvert : soit . Montrer qu'il existe tel que .

Pour montrer qu'un tel rayon existe, le mieux est d'en expliciter un (ie dire : si on prend alors ça marche)

Ici je ne suis pas tout à fait d'accord, il me semble que c'est ce que j'ai montré : on peut toujours rendre r' assez petit pour la boule ouverte existe.

Question 7

Oui, mais prouve le ! (ce n'est pas forcément difficile)

On peut écrire ; on sait qu'une boule ouverte est un ouvert, donc chaque point de admet une boule ouverte qui soit incluse dans . Ensuite, soit ; supposons alors que . Donc ; or . Donc , ce qui est contradictoire avec notre inégalité précédente. Donc il n'existe aucune boule ouverte centré sur les éléments de telle qu'elle soit incluse dans .

Une preuve ? (ce n'est pas difficile)

C'est immédiat par les définitions : "U est égal à son intérieur" équivaut à "tout point de U admet une boule ouverte qui soit incluse dans U" équivaut à "U est un ouvert".

[g_h]

En L3, j'ai d'abord vu la topologie des espaces métriques puis la "vraie" topologie.

Je viens d'aller vérifier mon tas de cours, on avait bien fait dans l'autre sens, ça dépend donc des profs

Comme d'habitude : on part d'un cas particulier, et on généralise au fil des années.

C'est l'idéal tant qu'on a dans la marge : "cette notion sera généralisée plus tard". Sinon, c'est n'est pas toujours une habitude de procéder de la sorte dans les cours, exemple, on introduit toujours les Banach avant les Hilbert (et je trouve ça anti-pédagogique, même si c'est pas capital). Cf. l'excellent John Horton Conway, "A course in Functional Analysis", je trouve qu'il résume bien la situation de l'enseignement que l'on peut avoir, souvent à rebrousse-poil de l'ordre des idées qu'on eu les chercheurs au long de l'histoire, tout ça parce que l'on confond souvent (à tort) l'esthétisme d'un cours et sa qualité pédagogique.

Bref, j'ai complètement dévié du topic, j'arrête de flooder
Au boulot !

[inviteaeeb6d8b]

Bonjour,

Ici je ne suis pas tout à fait d'accord, il me semble que c'est ce que j'ai montré : on peut toujours rendre r' assez petit pour la boule ouverte existe.

Le passage à la limite pose problème. Il faut te poser la question de ce qu'est une boule ouverte dont le rayon tend vers 0.

Pour cela, tu peux étudier la suite des boules ouvertes de centre et de rayon . La limite de cette suite décroissante d'ensembles est notée .

Cette question n'est pas difficile, il suffit de trouver un rayon strictement positif qui convienne. Fais un dessin dans muni de la distance euclidienne, ça devrait te donner des idées (même si un dessin ne suffit pas car tu as pu voir que certaines distances induisent des boules vraiment bizarres )

[Seirios]

Le passage à la limite pose problème. Il faut te poser la question de ce qu'est une boule ouverte dont le rayon tend vers 0.

Pour cela, tu peux étudier la suite des boules ouvertes de centre et de rayon . La limite de cette suite décroissante d'ensembles est notée .

Cette question n'est pas difficile, il suffit de trouver un rayon strictement positif qui convienne. Fais un dessin dans muni de la distance euclidienne, ça devrait te donner des idées (même si un dessin ne suffit pas car tu as pu voir que certaines distances induisent des boules vraiment bizarres )

On a . Donc si je comprends bien, mon raisonnement n'est pas correct parce que je fais intervenir une boule ouverte dont le rayon tend vers zéro, ce qui se résume en fait à , ce qui n'est pas une boule ouverte, c'est bien ça ?

[inviteaeeb6d8b]

Voilà. D'ailleurs en faisant cela, on peut montrer que n'importe quoi est ouvert. Par exemple, on peut montrer qu'une boule fermée est ouverte.

Si cette question te pose encore des problèmes, voici un très gros indice :

 Cliquez pour afficher

On veut montrer que la boule ouverte de centre c et de rayon r est ouverte. Soit un point de cette boule. Posons ...

Et on termine avec :

 Cliquez pour afficher

Soit . Montrons que .
(inégalité triangulaire)
alors (car )
alors
alors

Au passage
Si on est dans un espace métrique tel que les singletons sont des fermés et pas des ouverts : tu vois que l'intersection infinie de boules ouvertes peut être un fermé...
... alors que, par exemple, l'intersection finie d'ouverts est toujours un ouvert. (à prouver, ce n'est pas difficile).