probabilité-conditionnement

[invite77420056]

bonjour à tous

voici le sujet:

une urne contient 4 boules blanches et 2 boules noires indiscernables au toucher
on effectue 3 tirages successifs au hasard d'une boule selon la procedure suivante:

apres chaque tirage si la boule tirée est blanche on la remet dans l'urne et si elle est noire on ne la remet pas dans l'urne ....


on reprend l'urne dans sa composition initiale : 4 boules blanches et 2 boules noires indiscernables au toucher.
soit n un entier naturel superieur ou egal à 3.
on effectue maintenant n tirages successifs au hasard d'une boule dans l'urne selon la meme procedure: apres chaque tirage si la boule tirée est blanche on la remet dans l'urne et si elle est noire on ne la remet pas dfans l'urne

soit k un entier compris entre 1 et n

soit N l'evenement :"la k-ieme boule tirée est noire et toutes les autres sont blanches"

soit A l'evenement :"on obtient une boule blanche dans chacun des
k-1 premiers tirages et une boule noire au k-ieme"

soit B l'evenement :"on obtient une boule blanche dans chacun des
(n-k) derniers tirages ."

calculer p(A) et p(B) sachant A.


je ne sais pas par où commencer pour pouvoir calculer ces deux probabilités.

pouvez vous m'aidez svp ?

merci par avance.
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[invite6a5f6d49]

Bonjour,

Je vais essayer de répondre à ton problème le plus clairement possible...(c'est pas gagner, ça reste des proba )

Pour calculer p(A), il faut que tu ais obtenu (k-1) boules blanches et une boule noire au k-ième tirage.

La proba de tirer une boule blanche puis une seconde puis une troisième puis.....puis une (k-1)-ième blanche puis une noire au k-iéme tirage est : ((2/3)^(k-1))*(1/3)
(tu as à chaque tirage 2 chance sur 3 de tirer une boule blanche puisque tu la remets a chaque fois, il te faut (k-1) boules blanches d'où le (2/3)^(k-1), et la proba d'avoir une boule noire au k-ième tirage est 1/3 d'où la multiplication par 1/3 a la fin)

Je te laisse réfléchir pour la 2eme proba (il faut faire le même raisonnement....et utiliser la formule des proba conditionnelle)

Si c'est pas assez claire, n'hésite pas à poser des questions!

[Guillaume69]

Bonsoir,

Tu n'as rien trouvé, même pour l'évènement A ?
Première méthode, on raisonne directement en terme de probabilité.
On tire une boule blanche avec la probabilité 1/3. Donc tirer (k-1) boules blanches de suite, c'est (1/3)^k-1
La probabilité de tirer une noire est 2/3.
Donc finalement .

Deuxième méthode, plus difficile à mon avis, on utilise la formule p(A) = nombre de cas favorable sur nombre de cas possibles.
*Nombre de cas possibles : On peut tirer 5 boules à chaque tirage, on fait k tirages. Le nombre de cas possibles est donc
*Nombre de cas favorables : Pour chacun des (k-1) premiers tirages, 4 tirages conviennent. Pour le k-ième, 2 conviennent. Le nombre de cas possibles est donc
donc

Troisième méthode : on reconnaît une loi géométrique de paramètre 1/3. le résultat est immédiat.

Pour B, là encore, cherche Card(B) et Card(Omega).

Edit : oui bon, je suis très lent et je me suis fait doubler !

[invite77420056]

en fait javais reussis à trouver pour la premiere probabilité mais c'est pour la deuxieme que ça ne vas pas.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6a5f6d49]

Juste une petite précision, Guillaume69 tu as dû inverser la proba de tirer une boule blanche avec celle de tirer une boule noire.....
Proba de tirer une boule blanche = 2/3
proba de tirer une boule noire = 1/3

Du coup il faut tout inverser dans le raisonnement que tu as fais (qui est au passage très juste et très bien expliqué....)

[invite77420056]

moi j'ai trouvé comme probabilité (4/5)^n-k

je suis aller verifier mon resultat sur le corrigé et là ils parlent de k+1
ieme tirage .

d'où vient le k+1

[invite77420056]

je parle bien sur de la deuxieme proba

[Guillaume69]

désolé d'avoir tout inversé...

On a tiré une boule noire au k-ième, la composition de l'urne est la suivante :
4 boules blanches
1 boule noire.

Quelle est la probabilité de tirer une blanche ?
Combien de boules blanches tire-t-on ?

Le produit de ces deux nombre est la probabilité de réalisation de B sachant A.

[invite77420056]

et ben la probabilité de tirer une blanche n'est plus que de 4/5 et comme au k-ieme tirage on a tiré une boule noire alors au k+1 eme tirage on aura une blanche soit une probabilité de (4/5)^n-k

[invite6a5f6d49]

Pour trouver p(B) sachant A, je ferai :
P(B|A) = P(AnB)/P(A)

avec p(A)= (2/3)^(k-1)*(1/3)
et P(AnB)= (2/3)^k*(1/3)*(4/5)^(n-k)

d'où p(A|B) = (2/3)*(4/5)^(n-k)

Je ne vois pas d'où peut venir le (k+1) de ton corrigé....A moins qu'il y ait une faille dans mon raisonnement! (à cette heure tardive ça n'est pas impossible )

[Guillaume69]

et ben la probabilité de tirer une blanche n'est plus que de 4/5 et comme au k-ieme tirage on a tiré une boule noire alors au k+1 eme tirage on aura une blanche soit une probabilité de (4/5)^n-k

Je ne comprends pas ton raisonnements.

On tire n boules au total et on a déjà tiré k boules. On s'intéresse donc aux n-k+1 tirages restants.

Deux possibilités selon ce que l'on tire au tirage (k+1) :
*Premier cas : Soit on tire une noire avec la probabilité 1/5, puis on ne tire forcément que des blanches.
Ce cas se réalise donc avec une proabilité p1 = 1/5
*Deuxième cas. on tire une blanche avec la proba 4/5. Puis on ne tire que des blanches, avec la proba (4/5)^n-k, comme tu l'as expliqué.
Ce cas se réalise donc avec une probabilité p2 = 4/5^n-k+1

p_A(B) = p1 + p2