Régularisation d'un problème mal posé

[invitec35bc9ea]

Bonjour,
j'ai du mal à synthétiser une regression linéaire pour l'equation suivante:

mon but est de trouver les differents a,b et c.
je dispose d'une mesure de u et de y. il est possible sans soucis calculer les differentes integrales.

ma première approche fut de reecrire l'equation:



sous cette forme, le problème est vraisemblablement mal posé, en effet l'estimation des differents a, b et c ne converge pas (l'algorithme des moindres carrés est instable). j'ai testé la régularisation de Tikhonov qui a amelioré la stabilité pour certains paramètres mais pas tous:

Q et P, je les ai choisi d'une façon ad-hoc.
je soupsonne que le problème est mal posé:
- de 1, à cause du choix de A et b: à partir de la première equation que mettre dans b et quoi dans A (u? l'integrale de u? y? son integrale?...)
- de deux à cause de la presence dans A et b de signaux non indépendants (certains sont les integrales des autres).

comment pourrais je faire pour bien poser ce problème ou le régulariser correctement? d'une façon rigoureuse.

merci
-----

[acx01b]

salut

je ne vois pas bien ce que je peux t'apporter de plus

écris le comme tu l'as fait sous la forme où est une matrice donnée, un vecteur colonne donné, et on cherche le vecteur colonne

les moindres carrés donnent :

si n'est pas inversible alors il y a deux possiblités :

1) et dans ce cas si (diagonalisation dans une base orthonormée puisque est semi définie positive) alors où est la matrice où l'on a inversé les valeurs non nulles de

2) et dans ce cas il faut régulariser. Par exemple :

[acx01b]

Bonjour,

doit être diagonale positive et doit être définie positive

[invitec35bc9ea]

Bonsoir,

salut

écris le comme tu l'as fait sous la forme où est une matrice donnée, un vecteur colonne donné, et on cherche le vecteur colonne

les moindres carrés donnent :

el fait la première question que je me posais c'est compte tenu de la structure particulière de mon equation, que vaudrait il mieux ecrire:

ou

ou

ou autre?

est ce que lle fait que mes données ne sont pas independantes (relations d'integration), ne pose-il pas des problèmes de sensibilité de x aux variations des données A et b?

et comment correctement choisir Q et P pour la régularisation?

merci

[A voir en vidéo sur Futura]