question sur le noyau

[invite371ae0af]

bonjour
soit E un espace vectoriel de dimension finie
f l'endomorphisme de E

J'aimerai savoir si ker(f-idE) est un un sev de E? si oui pourquoi?

merci de votre aide
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[RoBeRTo-BeNDeR]

Bonjour,

si f est un morphisme alors f-id aussi donc comme le noyau d'un morphisme est un sev de l'espace de départ donc c'est bien le cas.

[invite371ae0af]

aurait tu une démonstration de cette propriété?
cette propriété ne marche t elle que dans le cas d'un morphisme

[RoBeRTo-BeNDeR]

Bonjour,

l'ensemble des morphismes de E sur F avec E et F deux E-Vectoriels est un espace vectoriel noté L(E,F), Il est donc stable par addition et donc soustraction donc

f morph et Id morph donc f-Id morph.

Soit f un morphisme.

Ker f = l'ensemble des 0 de f
Kerf non vide car contient 0

Soit x et y de Ker f alors f(x+y)=f(x)+f(y)=0+0=0 donc x+y dans Ker f

Soit x de Ker f et L du corps (R ou C en général) alors f(L.x)=L.f(x)=L.0=0 donc L.x est dans Ker f

Donc Ker f est un sev de E

Voilà.

De même Im f est un sev de F.

Le noyau est un terme associé aux morphismes donc on ne peut pas par exemple parler su lR du noyau de x->x²-1 car çà n'a pas de sens alors que l'on peut parler du noyau de x->2.x

De plus remarquons que x²-1=0 <=> x=1 ou x=-1
Ceci n'est pas stable par addition et multiplication quelconque.

Les application linéaire de lR sont de la forme x->ax avec a réel.
elle s'annulent en 0 si a est non nul, et {0} est bien un sev de R, ou sur tout R si a=0 et R est un sev de R.

Donc ne parle de noyau que si ta fonction est un morphisme!!

RoBeRTo

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite371ae0af]

merci pour la démo