Limite question bizarre

[invite7b17f543]

Bonsoir à tous, j'ai une question sur laquelle je bloque, mais je ne la comprends pas en fait, est-ce quelqu'un pourrait m'aider ? Merci d'avance.

Voici l'énoncé :

On a : 0 < k < 1
et
(P) : nN, |-| k | -|

On a aussi : (x,y)IR², | f(x)-f(y)| k |x-y|

(i) Démontrer que f est continue en tout point de

Normalement, j'y ai à peu près répondu. Donc on sait que f continue.

(ii)Soit la suite récurrente (Un) telle que =0 et nN, =f(Un).

Démontrer que (Un) vérifie la propriété (P) (voir plus haut).En déduire que cette suite admet pour limite une solution l de l'équation :

(E): "f(x)=x" d'inconnue x dans IR

Donc j'ai montré que (Un) vérifiait (P), j'ai montré que :

| f() - f(Un) | k |f(Un) - f(|

Maintenant, je ne vois pas du tout comment faire pour la phrase en gras " en déduire....". Il faut déduire mais je vois pas comment faire.
Si quelqu'un a pris le temps de lire merci déjà, en espérant que vous puissiez m'aider. J'ai cherché longtemps mais je n'y arrive pas . Merci d'avance à tout ceux qui essaieront de me répondre.
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[invitea3eb043e]

Ce truc cache 2 questions :
- montrer que u(n) converge
- montrer que u(n) converge vers l, solution de f(l)=l

Une indication : que vaut |u(n+1) - l| ? sachant que u(n+1) = f(u(n)) et l = f(l) ?
Peut-on écrire une inégalité et conclure ?

[invite7b17f543]

euh...dans une des autres questions, j'ai du montrer que (Un) converge.

[invite7b17f543]

je dois " en déduire..."

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7b17f543]

|u(n+1) - l| , pourquoi je dois chercher ça ?

[invitea3eb043e]

Pour chercher un majorant à cette quantité et montrer que ce majorant tend vers zéro.

[invite7b17f543]

Admettons on a : |U(n+1) - l| = | f(Un) - f(l) | =

[invitea3eb043e]

Tu sais des choses sur |f(x) - f(y)|

[invite7b17f543]

ah oui ok , un majorant

[invite7b17f543]

je dois me servir de ça non plus : | f(U(n+1)) - f(Un) | k |f(Un) - f(U(n-1)) |

[invitea3eb043e]

C'est pas ça qu'on t'a dit sur f au début.

[invite7b17f543]

Je sais mais il faut que j'en déduise !!

[invite7b17f543]

Si je fais comme vous dites, j'ai : | U(n+1) - l | = | f(Un) - f(l)| < k | Un - l |

[invitea3eb043e]

Tu as vraiment du mal :
|u(n+1) - l| = |f(u(n)) - f(l)| < k |u(n) - l|
Vu que k<1, tu ne penses pas que ça fait un chouette majorant pour |u(n+1) - l| ?
Edit : on s'est croisés.

[invite7b17f543]

Euh...bof

[invitea3eb043e]

Pas évident que |u(n) - l| <k^n |u(0) - l| ? Donc ça tend vers zéro.

[invite7b17f543]

non c'est pas évident

[invitea3eb043e]

On dit bien que k<1 , donc quelle limite pour k^n ?

[erik]

non c'est pas évident

Ben si, si k est positif ET inférieur à 1, k^n tend vers zéro quand n tend vers l'infini.

[EDIT] croisement avec Jeanpaul

[invite7b17f543]

J'ai l'impression de chercher compliqué en fait

[invite7b17f543]

Je vois pas pourquoi ça tend vers 0 , je suis dsl

[invite7b17f543]

pour le k^n

[invite7b17f543]

je me sens bête

[invitea3eb043e]

Tu peux montrer que si n>N tu peux rendre k^n aussi petit que tu veux, par exemple inférieur à 0,000001. Tu peux même calculer N. C'est ça, tendre vers zéro (par définition).

[invite7b17f543]

C'est bon j'ai compris, merci beaucoup. J'ai juste pas compris comment on passe de :
| U(n+1) - L | < k | Un - L |
à
| U(n+1) - L | < k^n |Uo - L |

[invite7b17f543]

En utilisant |u(n) - L| <k^n |uo - L|

[invitea3eb043e]

On peut le faire par récurrence mais c'est le canon de 75 pour enfoncer un clou.

[invite7b17f543]

Bon bin merci à vous 2 . Je vais aller revoir tout ça. J'ai encore 2 drôles de questions que je vais essayer d'aller faire, c'est pour demain en plus, et je dois tout rédiger . Snif. Je m'y étais pris tôt en plus. Mais j'ai bloqué. Merci encore

[invite7b17f543]

Je dois prouver que L est l'unique solution de "f(x)=x". Par l'absurde je suppose. et après montrer que l'équation (sin x +1)/2 = x admet une et une seule solution dans R. C'est pas gagné

[invite7b17f543]

Merci encore