[Terminale S] Limite de suites et exercice bizarre. (élève motivée!)

[invite40044acb]

Bonjour,
J'ai passé la semaine a essayé de résoudre un DM de math, sur les 5 exercices, un me pose problème. Surtout en ce qui concerne la rédaction.
En découvrant ce forum, j'ai pensé que vous pourriez peut être me mettre sur la piste.
Je dois le rendre demain.
Merci par avance.

Soit u et v 2 suites convergeant respectivement vers l1 et l2.
Soit a une réel positif.

1) Montrer qu'il existe un entier naturel N1, tel que, pour tout entier naturel n, n > (ou égal) N1, l1 -a/2 < Un < l1 +a/2

2)Montrer qu'il existe un entier naturel N2, tel que, pour tout entier naturel n, n > (ou égal) N2, l2 -a/2 < Vn < l2 +a/2

3) Trouver un rang N à partir duquel on ait: l1 + l2 -a < Un + Vn< l1 +l2 +a.
4) En déduire que lim (quand n tend vers + infini) (u+v)n = l1 +l2
5) énoncer l ethéorème qu evou svenez de démontrer.

1) J'ai fait une redaction comme ça, mais c'est affreusement mal dit

Soit r= a/2,
On suppose qu'il existe un rang N1, tq pour tout n>(ou égal) N1, l1 -a/2 < Un < l1 +a/2.
Soit I1 ] l1-r, l1 +r [. I1 est un intervalle ouvert contenant l1, u converge vers l1 donc I1 contient tous les termes de la suite U à partir d'un certain rang.
Il existe donc N1 appartenant à l'ensemble des réel, tq pour tout n>(ou égal) N1, l1 - r < Un < l1 + r équivaut l1 -a/2 < Un < l1 +a/2.

2) Même raisonnement.
3)Soit N, le plus grand des 2 entiers N1 et N2.
Alors pour tout n > (ou égal) a N, (l1 -a/2) + (l2 -a/2) < un + vn < (l1 +a/2) + (l2 +a/2)
donc l1 + l2 -a < Un + Vn< l1 +l2 +a
4)là je bloque completement.
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[invitec317278e]

On suppose qu'il existe un rang N1, tq pour tout n>(ou égal) N1, l1 -a/2 < Un < l1 +a/2.

Si tu supposes directement ce que tu dois prouver, pas besoin de faire de démonstration, hein

4)là je bloque completement.

Et bien il suffit de se servi de l'inégalité que tu cites juste avant :

pour tout n>(ou égal) pour tout n > (ou égal) a N, (l1 -a/2) + (l2 -a/2) < un + vn < (l1 +a/2) + (l2 +a/2)

Si on pose : , , on obtient , et là, est-ce que ceci ne veut pas dire, par hasard, que la suite tend vers ? En effet, comme a est quelconque, l'intervalle regroupe tous les intervalles dont fait partie, et vu qu'on a à partir d'un certain rang, ça veut dire que quelque soit l'intervalle comprenant , il existe un rang tel que la suite soit dans cet intervalle.

[invite40044acb]

Si tu supposes directement ce que tu dois prouver, pas besoin de faire de démonstration, hein

En effet... Mais de quoi partir alors? On ne sait rien sur les suites U et V, d'ou mon problème.

Et bien il suffit de se servi de l'inégalité que tu cites juste avant :


Si on pose : , , on obtient , et là, est-ce que ceci ne veut pas dire, par hasard, que la suite tend vers ? En effet, comme a est quelconque, l'intervalle regroupe tous les intervalles dont fait partie, et vu qu'on a à partir d'un certain rang, ça veut dire que quelque soit l'intervalle comprenant , il existe un rang tel que la suite soit dans cet intervalle.

Oui j'ai bien pensé utilise Wn, mais le a me dérangeait, mais en vous lisant je viens de percuter que a est quelconque. Et par contre, j'avais pris l'intervalle ouvert:

On pose Wn= Un +Vn, l3= l1+l2.
Pour tout n > (ou égal) N, il existe un intervalle ouvert contenant tou sles termes de la suite w à partir d'un certain rang n. D'après l'inéquation, il contient tous les termes de W pour tout n > (ou égal) N, donc à partir d'un certain rang et comme a est quelconque on a:

Et comme on a à partir d'un certain rang n, ça veut dire que quelque soit l'intervalle comprenant , il existe un rang tel que la suite soit dans cet intervalle.
Donc, (wn) converge vers l1+l2, soit lim w =l1 +l2 d'ou lim (u+v)n = l1+l2

[invitec317278e]

Exact.

Et tu verras, je le dis en guise de culture "générale", si tu continues les maths l'année prochaine, que la vraie définition de la limite est justement :
pour tout réel a strictement positif , il existe un rang N tel que pour tout n plus grand que N, , ce qui est exactement la même inégalité que : .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite40044acb]

Super, merci beaucoup.
Ah ouaip! C'est exactement la même définition, me semble de l'avoir déja vu quelque part cette définition.
Mais je ne pense pas continuer les maths en prépa math sup par exemple, je n'ai vraiment pas le "déclic math".
Et est ce que vous pourriez me donner une piste pour le 1) et le 2) pour que je puisse le refaire et ne pas partir de ce qu'il faut montrer?

[invitec317278e]

Soit I1 ] l1-r, l1 +r [. I1 est un intervalle ouvert contenant l1, u converge vers l1 donc I1 contient tous les termes de la suite U à partir d'un certain rang.
Il existe donc N1 appartenant à l'ensemble des réel, tq pour tout n>(ou égal) N1, l1 - r < Un < l1 + r équivaut l1 -a/2 < Un < l1 +a/2.

Ce raisonnement est valide, à ceci près que N1 appartient plutôt à l'ensemble des entiers...
Il faut aussi préciser que il existe donc N1...car la suite converge vers l1.
En fait, je comprends pas l'intérêt d'avoir mis "On suppose qu'il existe un rang N1, tq pour tout n>(ou égal) N1, l1 -a/2 < Un < l1 +a/2." avant le reste du raisonnement, car dans la suite, tu prouves qu'il existe du fait qu'on sait que la suite tend vers l1.

[invite40044acb]

En effet, je ne suis pas cohérente...
Donc, je démarre plutôt par:
On pose r= a/2,
Soit I1 ] l1-r, l1 +r [.
I1 est un intervalle ouvert contenant l1, u converge vers l1 donc I1 contient tous les termes de la suite U à partir d'un certain rang.
Il existe donc N1 appartenant à l'ensemble des entiers, tq pour tout n>(ou égal) N1, l1 - r < Un < l1 + r équivaut l1 -a/2 < Un < l1 +a/2.
Et je crois que je vais ajouter un schéma pour illustrer ce que je montre.


Je vous remercie beaucoup pour cette aide aussi rapide!