Bonjour,
La question peut paraître un peu tordue mais y a t-il une définition exacte de l'existence en mathématique ?
Est-ce qu'un objet que l'on peut définir existe (ça me paraitrait logique mais je préfère demander) ? Et si oui, la réciproque est-elle vraie : est-ce que tout ce qui existe peut être défini ?
Voilà merci d'avance à ceux qui me répondront.
Silk
Dernière modification par JPL ; 21/04/2011 à 17h26. Motif: Titre
Salut,
Peut être trouverons nous d'avantage d'éléments de réponses à cette question au près des philosophes.
En lisant l'intitulé de ce poste, j'ai tout de suite pensé à dieu et au paris de Pascal.
Cordialement
Anthony
Pardis, c'est quand un truc existe !!!
[Mouais]
Je pense (après c'est mon humble avis) que l'idée d'existence se rapproche de l'idée de sens, un objet existe si ça a du sens d'en parler, donc l'inexistence serait un non sens ...
enfin pose la question a 36 philosophes, t'auras 36 réponses différentes.
Bonjour,
Merci de vos réponses. Il est vrai que le titre que j'ai choisi semblerait peut-être plus inviter au débat philosophique qu'à une discussion mathématique. Cependant ici, c'est bien une réponse de mathématicien (peut-être même plus précisément de logicien) que je cherche.
Je reformule donc ma question : existe-t-il, en logique mathématique, une définition utilisant le langage de la logique formelle de l'expression "" ?
Ça me fait d'ailleurs penser à une autre question : est-ce que "
A la réflexion une autre de mes questions ne me parait plus très logique : Est-ce qu'un objet que l'on peut définir existe ?
En fait, ne doit-on pas toujours prouver l'existence d'un objet avant de le définir ?
Enfin, je ré-itère une autre de mes questions : est-ce que tout ce qui existe peut être défini (toujours en mathématique) ? Une question qui revient peut-être à est-ce que tout ce qui existe peut-être caractérisé de façon unique ?
Merci d'avance pour vos réponses (mathématiques, même si les réponses philosophiques m'intéressent aussi).
Silk
Dernière modification par silk78 ; 17/04/2011 à 07h46.
Bonjour,
D'un point de vue purement syntaxique, la définition est ... syntaxique, c'est à dire que la définition précise seulement les règles pour construire des formules bien formées.Envoyé par silk78
Je reformule donc ma question : existe-t-il, en logique mathématique, une définition utilisant le langage de la logique formelle de l'expression "
Du point de vue de la preuve, chaque logique possède ses propre axiomes concernant les inférences avec quantificateur.
Du point de vue sémantique, la formule
Quand on travaille dans le cadre d'une théorie (du premier ordre), il est inutile (souvent impossible) de préciser l'ensemble qui "borne" le quantificateur ; par exemple si je veux démontrer que dans la théorie de Peano pour l'arithmétiqueÇa me fait d'ailleurs penser à une autre question : est-ce que "
Ceci étant on peut décider de travailler dans un modèle particulier et démontrer
Il va de soi que l'on peut remplacer l'appartenance à un sous-ensemble d'un modèle par la formule définissant celui-ci.
Je ne comprends pas la question, car je ne sais pas ce que veux dire "existe" dans ce cadre, est-ce une manifestation de platonisme ?
Utiliser un objet (c'est pour cela qu'on le définit) en prenant le risque qu'il n'existe pas peut amener à démontrer des résultats faux (supposer qu'il existe un réel de carré = -1, permet de démontrer que tous les réels ont un carré égal à l'opposé d'un autre réel au carré).
Si je comprends "existe" par "existe dans tel modèle", clairement : non. Il suffit de considérer IR, qui n'est pas dénombrable, alors que l'on ne peut fabriquer qu'un ensemble dénombrable de propositions, c'est à dire qu'un ensemble dénombrable de définitions.
Cordialement
Dernière modification par Médiat ; 19/04/2011 à 11h10.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Merci de votre réponse Médiat.
Tout n'est pas encore très clair pour moi, donc je vais y repenser à tête reposée.
Silk
ah ben quand on commence à creuser la "logique" pure, les fondements des mathématqiues, même à tête reposée c'est un sacré casse-tête, AMHA .
Retiens que, pour répondre basiquement et tenter de résumer le post précédent, en pratique non, tu n'es pas obligé de prouver l'existence de quelque chose pour le définir.
Exemple : je défini qu'un nombre de Lioobayoyo est un nombre L tel que L + x = x + 1 pour tout x réel, et L * x = 0 pour tout x.
Voilà, j'ai défini quelque chose.
Je peux aussi facilement prouver qu'il n'en existe pas (d'après la première propriété, L ne peut être que 1, mais d'après la seconde, ça ne peut êre que 0. et comme 1 n'est pas la même chose que 0, c'est foutu).
J'ai prouvé qu'un tel nombre ne peut pas exister. Comment aurais.je pu prouver que ça ne peut pas exister, si je n'avais pas pu le définir ? Si j'étais obligé de prouver que ça existe avant de le définir, je n'aurais pas pu prouver qu'il n'existe pas... puisqu'il aurait existé ! Tu vois le souci. la prise de tête ?
après c'est vraiment une histoire d’axiomatique.
Merci pour toutes vos réponses, qui m'éclairent déjà un peu.
Faut-il comprendre
Si c'est le cas, alors le fait que
Même si, je me demande alors si il y a une définition possible de "pour tout" qui n'utilise pas l'existence.
Si le pour tout est restreint à un ensemble E, a-t-on :
Si oui alors y a-t-il un moyen de se "débarasser" du E ?
Pas de platonisisme ici, juste un manque de compréhension des notions utiliséesJe ne comprends pas la question, car je ne sais pas ce que veux dire "existe" dans ce cadre, est-ce une manifestation de platonisme ?
Mais, je pense déjà un peu mieux cerné la chose : le message de lioobayoyo montre que l'on peut définir quelque chose qui n'existe pas, mais le message de Médiat montre qu'il ne faut alors pas l'utiliser (du moins c'est ce que je comprends).
Je pense qu'après, le mieux serait encore de commencer à lire un vrai cours de logique, et pas de poser des questions isolées comme ça.
Pensez-vous qu'il existe des cours de ce genre accesibles à un niveau L2 ?
Merci encore pour vos réponses,
Silk
Il faut comprendre ... qu'il y a une faute de frappeFaut-il comprendre, il fallait lire
Celle que j'ai donné n'utilise pas l'existence, heureusement d'ailleurs carMême si, je me demande alors si il y a une définition possible de "pour tout" qui n'utilise pas l'existence.
Oui, grace à l'axiome de généralisation.Si le pour tout est restreint à un ensemble E, a-t-on :
Je ne crois pas, une propriété des réels égaux à leur partie entière n'a aucune raison a priori d'être une propriété de tous les réels.Si oui alors y a-t-il un moyen de se "débarasser" du E ?
C'est effectivement correct, une définition est juste une formule bien formée, on a donc le droit de l'écrire, mais attention ...Pas de platonisisme ici, juste un manque de compréhension des notions utilisées
Mais, je pense déjà un peu mieux cerné la chose : le message de lioobayoyo montre que l'on peut définir quelque chose qui n'existe pas, mais le message de Médiat montre qu'il ne faut alors pas l'utiliser (du moins c'est ce que je comprends).
OuiJe pense qu'après, le mieux serait encore de commencer à lire un vrai cours de logique, et pas de poser des questions isolées comme ça.
Pensez-vous qu'il existe des cours de ce genre accesibles à un niveau L2 ?
Par exemple : http://www.pps.jussieu.fr/~roziere/mt3062/cours.pdf
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Je suis en train de lire Introduction à la logique, je le trouve assez bien.Je pense qu'après, le mieux serait encore de commencer à lire un vrai cours de logique, et pas de poser des questions isolées comme ça.
Pensez-vous qu'il existe des cours de ce genre accesibles à un niveau L2 ?
If your method does not solve the problem, change the problem.
Merci pour vos deux liens
il y a des formules qui donnent mal a la tete
et je me demande vraiment si le fait de compliquer aide une personne qui cherche ou plutot l'enfonce trois pieds sous terre.
L'existence est une ame qui s'éprouve pour les mineraux vegetaux et animaux.
En mathématique une existence est ce qui peut être expérimentée...
ce qui revient pour ainsi dire au même.
l'univers tout entier a été crée pour que la conscience se connaisse en s'éprouvant.
Tout est Conscience et l'homme doit aussi se trouver.
Pour ce faire il doit partir d'un postual on ne peut plus simple
'Savoir qu il ne sait rien' et ainsi toujours évoluer.
il y a des formules qui donnent mal a la tete
et je me demande vraiment si le fait de compliquer aide une personne qui cherche ou plutot l'enfonce trois pieds sous terre.
L'existence est une ame qui s'éprouve pour les mineraux vegetaux et animaux.
En mathématique une existence est ce qui peut être expérimentée...
ce qui revient pour ainsi dire au même.
l'univers tout entier a été crée pour que la conscience se connaisse en s'éprouvant.
Tout est Conscience et l'homme doit aussi se trouver.
Pour ce faire il doit partir d'un postual on ne peut plus simple
'Savoir qu il ne sait rien' et ainsi toujours évoluer.
ajout:
xxxxx j'avais oublié que certains pensent que la conscience est une substance secrété par le cerveau _sic??) et accesoirement que l'ame n'existe pas (double sic??)... Alors je passe sur ce coup
Socrate Pythagore Platon Hyppocrate n'avaient alors rien compris???
(triple sic??)
Dernière modification par Médiat ; 21/04/2011 à 16h16. Motif: Grossièreté
Existence "physique" ou "mentale" ?
L'infini existe mentalement puisqu'on y pense, mais existe-t-il physiquement ?
Il faudrait déjà connaitre "tout ce qui existe"...
@canabis
Merci de ne pas intervenir sur des sujets qui vous échappent, ce n'est pas parce que certaines formules vous donnent mal à la tête qu'il en est de même pour tout le monde.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Où est-le problème ? On fait bien des raisonnements par l'absurde pour démontrer l'inexistence de ceci-cela.
Média refuse-t-il de faire des raisonnements par l'absurde ?
@leon1789 :
Je ne parle ici que d'existence mathématique, celle qu'on affirme lorsque l'on écritExistence "physique" ou "mentale" ?
L'infini existe mentalement puisqu'on y pense, mais existe-t-il physiquement ?
Pour l'existence de l'infini, bien que la question de son existence physique est très intéressante, dans mes questions précédentes, j'aurais parlé d'une existence du genre :
Il fallait plutôt lire : si x est un objet qui existe dans un certain modèle, alors existe-t-il une définition caractérisant x, ce qui, je me rend compte, est d'une part pas très clair car je n'est pas précisé ce qu'est une définition, d'autre part un peu idiot, car le fait d'être x me semble caractériser xIl faudrait déjà connaitre "tout ce qui existe"...
Je ne pense pas que Médiat refuse les raisonnements par l'absurdeOù est-le problème ? On fait bien des raisonnements par l'absurde pour démontrer l'inexistence de ceci-cela.
Médiat refuse-t-il de faire des raisonnements par l'absurde ?
Peut-être ma phrase prêtait à confusion ...
Silk
Pour moi, l'existence de l'infini est liée à un axiome (existence des ensembles infinis). On peut admettre ou refuser cet axiome, i.e. admettre ou refuser l'existence.Pour l'existence de l'infini, bien que la question de son existence physique est très intéressante, dans mes questions précédentes, j'aurais parlé d'une existence du genre :
On voit à quel point l'existence mathématique est "fragile" et relative.
Dernière modification par JPL ; 21/04/2011 à 17h27. Motif: Titre
Vous me lisez mal.
Où avez-vous lu cela ? Il est vrai que vous aussi mal lu mon pseudo.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
@silk78 :
Vous pouvez jeter un oeil sur le message #1 de ce fil : http://forums.futura-sciences.com/ep...ensembles.html, en particulier le passage sur le théorème de Cantor, et plus spécifiquement le paragraphe qui commence par :
Que veut dire « Il existe une bijection … »
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
@ Médiat :
J'ai regardé la discussion, qui m'amène quelques réponses et eclaircissement et ... beaucoup d'autres questions (et reflexions)
La plupart concernent le sujet de la discussion elle-même, mais une traite de l'existence : si un objet x existe dans une théorie, est-il cosntructible à l'aide des outils de cette théorie ?
La phrase "est-ce qu’on ne risque pas de se contraindre aux mathématiques constructives" me laisse penser que non, mais si c'est le cas, avez-vous un exemple ?
Enfin, encore faut-il définir une construction
Silk
M. Médiat, vous écrivez avec des fautes vous aussi parfois ...
Et vous me lisez mal également : c'était une question à pour silk78, et non une affirmation pour vous.
Dernière modification par leon1789 ; 21/04/2011 à 18h49.
Vous avez raison, la réponse est non et un exemple simple est l'ensemble des parties d'un ensemble infini ; un exemple plus complexe, mais plus habituel est une fonction de choix (dans ZFC).
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Et ceci : http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post3516558, c'était aussi une question posée à silk78 ?
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Certes non, mais ce n'est pas la citation que vous commentiez dans la seconde partie de votre message #21. Si vous commencez à mélanger les questions et les réponses...
Donc vous admettez m'avoir mal lu, c'est déjà ça.
Je suis Charlie.
J'affirme péremptoirement que toute affirmation péremptoire est fausse
Vous me faites bien rire, aujourd'hui vous êtes en plein forme !
J'admets que la première phrase de #21 n'était pas une question, mais un commentaire à vos propos. Vous ai-je dit le contraire quelque part ?
C'est la seconde phrase de #21 qui est une question pour silk78. D'ailleurs, vous avez vu sa réponse...
