"Description" de deux sous corps

[invitef190a1c6]

Bonjour,
Mon problème est que je dois trouver une description des corps Q( ) et de (Q[])()
Par exemple Q[]={x + y avec x,y Q }.

Je ne vois pas du tout comment procéder
Donc voilà si vous pourriez me donner quelques indications..
Merci d'avance
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[thepasboss]

Que sais-tu des corps ?

Dans ton premier cas, la racine cubique de 2 est par définition un élément primitif de ton extension, donc il suffit de connaitre son degré sur Q pour avoir une écriture.

Dans le deuxième cas, c'est "un peu" plus dur. Tu peux montrer que :

Racine(2)+Racine(3) = A est un élément primitif en disant que ton extension est de degré 4 sur Q et qu'un polynôme minimal de A est de degré 4.

Mais bon si tu n'as pas vu grand chose sur les corps, je viens peut-être de parler chinois.

[invitef190a1c6]

C'est en effet un peu du chinois
On a vaguement aborder le sujet des corps, la seule chose que l'on connaisse c'est la signification de la notation Q() par exemple.
On a eu le droit a l'exemple que j'ai précédemment évoqué et voilà :-S

[invitefa064e43]

tu pars d'un corps connu. (par exemple ).

Tu te donnes un "élément" qui n'est pas dans le corps, mais dans un corps "au dessus" (par exemple , qui n'est pas dans , mais dans ).

Tu secoues très fort dans un shaker, avec des glaçons, et tu obtiens un nouveau corps : , qui est en fait l'ensemble de tous les nombres de la forme "", avec x,y dans le corps donné au tout début.


Donc la notation c'est : Corps-de-départ ( élément )
et ton ceci sera l’ensemble des x + y fois élément avec x et y dans le corps de base.

Dans les deux exemples qu'on essaye de te faire faire :

1) quel est le corps de base ?
2) quel est l'élément dont je parle ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Attention, ce que vous dites n'est valide que pour les extensions quadratiques.

Par exemple ne peut pas s'écrire comme vous le proposez, non plus et c'est encore pire pour les extensions transcendantes.

cf. la réponse #2

[invitefa064e43]

Attention, ce que vous dites n'est valide que pour les extensions quadratiques.

Par exemple ne peut pas s'écrire comme vous le proposez, non plus et c'est encore pire pour les extensions transcendantes.

cf. la réponse #2

arg oui, ma simplification est trop simple pour celui avec la racine cubique de 2...

zut ! et merci de la correction.

Par contre il me semble que ça joue bien pour , non?

[Médiat]

Ecrit sous la forme : , il s'agit d'une extension quadratique d'une extension quadratique, donc on peut bien écrire les éléments sous la forme , mais avec x et y des éléments de , pas de .

Ecrit sous la forme , il s'agit d'une extension de degré 4 sur .

Quelques calculs élémentaires permettent de montrer qu'il s'agit bien de la même chose une fois la première proposition ramenée à une extension de .

[invitefa064e43]

Ecrit sous la forme : , il s'agit d'une extension quadratique d'une extension quadratique, donc on peut bien écrire les éléments sous la forme , mais avec x et y des éléments de , pas de .

oui voilà, c'est comme ça que je voulais lui faire voir ce celui-ci, d'ailleurs il est présenté comme ceci dans son énoncé.

encore merci.

[invitef190a1c6]

Tu secoues très fort dans un shaker, avec des glaçons, et tu obtiens un nouveau corps : , qui est en fait l'ensemble de tous les nombres de la forme "", avec x,y dans le corps donné au tout début.

Merci pour cette métaphore lioobayoyo qui aide beaucoup à comprendre ce qui se passe !

Donc si je vous ai bien suivi on a pour Q()() on a
{ x + y avec x,y Q()}

Et donc pour Q(), le corps de base c'est Q auquel on ajoute l'élément qui appartient à R.
Ce qui donne :
{ x+y avec x,y Q }

[Médiat]

Et donc pour Q(), le corps de base c'est Q auquel on ajoute l'élément qui appartient à R.
Ce qui donne :
{ x+y avec x,y Q }

Une simple petite multiplication vous montrera que ceci ne convient pas.

[invitef190a1c6]

Une simple petite multiplication vous montrera que ceci ne convient pas.

Ah oui je pense voir, (x+y)*(x'+y'), on devrait obtenir une solution du même type qu'au départ, mais ce n'est pas le cas...

[Médiat]

Exact.

Pour , on peut remarquer que deux rationnels suffisent et que est solution d'une équation rationnelle de degré 2.

Je vous laisse réfléchir pourquoi la deuxième partie de ma phrase implique la première.

Je vous laisse aussi trouver une équation (minimale) dont est solution et conclure.

[invitef190a1c6]

Je n'arrive pas à voir comment je peux trouver une equation où est solution .
Soit c'est tout simple et j'y pense pas, soit je sais pas =/

[invitefa064e43]

Je n'arrive pas à voir comment je peux trouver une equation où est solution .
Soit c'est tout simple et j'y pense pas, soit je sais pas =/

c'est tout simple.

on parle bien sûr d'une équation polynomiale, où les coefficients sont entiers.

Qu'est ce que tu sais de simple sur ce nombre réel (qui écrit en nombre décimal est tout-à-fait horrible)

[invitef190a1c6]

Bas on a : =x
Et : =2
Alors la on a solution de -2=0
?

[invitefa064e43]

Alors la on a solution de
?

oui voilà. Il faudrait un argument pour prouver que c'est bien le polynome minimal, mais c'est le cas.

[invitef190a1c6]

Donc pour conclure :
Q() = { +2 avec xQ }
?

[thepasboss]

Absolument pas ^^

On note "a" la racine cubique de 2. On sait que tout élément du corps K=Q(a) est un élément de la forme P(a) ou P est un polynôme à coefficients rationnels. Or, si on note T = X^3 - 2, et qu'on effectue la division euclidienne de P par T, on obtient :

P = ST + R ou S et R sont des polynômes à coef rationnels et deg(R)<deg(T)=3. Or comme T(a) = 0, en calculant en a dans la formule précédente : P(a) = S(a)T(a)+R(a) = R(a).

Ie tout élément de K s'écrit sous la forme d'un polynôme de degré 2 en a, ie de la forme u*a² + v*a + t.

Pour en finir avec l'étude, il faudrait montrer que u*a² + v*a + t = 0 implique (u,v,t)=(0,0,0)

[invitef190a1c6]

Merci beaucoup pour tout ça
J'devrai pouvoir m'en sortir comme un grand maintenant =p

Bonne soirée à tout le monde et encore merci