noyau, rand, image, spectre d'un endomorphisme

[invite45ca6d89]

Bonjour à toutes et à tous,

J'ai un exercice qui concerne un endomorphisme d'un espace de polynôme. Il ne me parait pas bien compliqué mais j'ai un doute sur la définition du polynôme..

Je tiens à préciser que j'ai déjà la correction mais bon...

On note [X] et f l'application

1) Vérifier que f est un endomorphisme du R espace vectoriel E.
C'est fait

2) Former la matrice A de f dans la base canonique B(1,X,....X^n}) de E
Là je bloque à cause de la définition d'un polynôme...

A-t-on bien ?

donc

donc pour avoir la matrice de f, je vais former

et la je bloque... f(1) = ...

3) noyau , rang, image , spectre de f (pas encore essayé)


Merci d'avance et désolé si cela peut paraître évident ..
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[invite0a963149]

Il n'y a pas de f(1) qui tienne (pour l'instant), tu as bien noté ton P(X) comme une combinaison linéaire des vecteurs de ta base.

Donc tu calcules f(X) avec cette définition et tu regardes, f(1), ce que tu as devant les coefficients et tu remplies la 1° colonne, puis f(X) etc ...

Commence par faire avec un polynome de degré 3, puis regardes ce qu'il se passe, puis généralise.

[invite78b5d3b8]

Le premier vecteur de la base canonique des polynômes est bien 1.
Mais le piège c'est que si tu prends pour "polynôme" 1, alors, quelque soit X, P(X)=1, avec X, P(X)=X.... Ensuite, tu sais faire la matrice d'un endomorphisme dans un base non?

PS: évite de marque ranD, dans un DS =)

[invite45ca6d89]

Du mal à visualiser désolé...

Je prends
On a donc

et

donc :


j'en déduit que f(1) = b + c + d
....

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite45ca6d89]

oui je sais faire la matrice d'un endomorphisme

ah ok donc pas besoin de faire tout ces calculs ?

C'est ce que je me suis dit, si je prend pour polynôme 1, alors quelque soit X, P(X) = 1, etc comme tu dis

mais alors que vaut P(X- 1) ? 1 pour le polynôme 1, X-1 pour X , (X-1)^2 pour X^2 ? etc ... ?


PS: en effet c'est bien ranG

[invite78b5d3b8]

J'avoue que je ne vois pas pourquoi il faudrais prendre un polynôme de degré 3. Pour construire la matrice, tu étudies l'image de 1, X, X².......
Par exemple:
Pour X->1 : f(1)=X*(1-1)
Pour X->X : f(X)= X*(X-(X-1))
Pour X->X² : f(X²)=X*(X²-(X-1)²) ...............

Ensuite tu écris ta matrice par colonnes!

[invite45ca6d89]

On est décalé dans les réponses, désolé...

Je viens de comprendre merci...

Je vais essayer de faire la suite

[invite0a963149]

Désolé, je suis décidemment fatigué aujourd'hui, ne prends pas en compte mon message.

[invite78b5d3b8]

Mais ton exercice étant en dimension n, il va bien falloir à un moment ou à un autre faire le calcul pour X^k , les premiers calculs ne sont la que pour te lancer

[invite45ca6d89]

Me revoilà avec le calcul de la matrice. Je trouve le même résultat que dans ma correction à un détails près.

Quand je définis pour tout j = {0,...n}

On obtient:


mon calcul ne s'arrête pas là; je vais chercher à améliorer le résultat par un changement de variable k = i + 1;
j'ai cependant une question : Supposons que je m'arrête là, est-ce que mon résultat a toujours un sens mathématique ? ou faut-il que je change mon hypothèse de départ et mettre "pour tout j = {2,...n}" ?

merci encore