Bonjour à tous!
Je suis étudiant en MP et je m'adresse à vous parce que j'ai une lacune très handicapante sur le chapitre des intégrales à laquelle j'aimerais que vous apportiez vos lumières:
Je suis au courant que si Si f(x) = o(g(x)) avec g intégrable sur I alors f est intégrable sur I. Si j'ai compris le concept, j'ai énormément de mal à le mettre en pratique, même avec la correction des exos...
Auriez vous une idée de comment je pourrais visualiser cela?
Merci infiniment!
bah si f est négligeable devant g, alors ca veut dire que |f| est très petite par rapport à |g|, donc si l'aire sous la courbe de |g| est finie, l'aire sous la courbe de |f| risque d'être finie aussi, puisqu'elle est plus petite !
C'est le théorème de domination (pour des fonctions positives).
Pour comprendre, je pense qu'il est utile de comprendre la démonstation! ^^
Suppose donc f et g C par morceaux, de R sur R+, telles que g(t)f(t).Soit F(x) et G(x) les intégrales de a à x de f(t) et g(t). Comme l'intégrale est positive et croissante, on a:
Si l'intégrale généralisée
Si t'as compris avec les séries t'as tout compris mec !!! (il faut aussi un peut penser sommes de riemman)
Envoyé par EdronStarz
pourquoi "pour des fonctions positives" ?
Parce qu'il faut qu'elle soient a valeurs positives sinon c'est pas bon, si elles font le yoyo entre positif et négatif c'est pas bon !!!
C'est comme le théorème d'équivalence, les fonctions doivent être du même signe. Mais pour faire la démonstration, comme celle-ci implique des inégalités, il faut se placer dans un des deux cas.
Nous sommes d'accord sur le fait que nous suivons le programme de MP, et donc queC'est comme le théorème d'équivalence, les fonctions doivent être du même signe. Mais pour faire la démonstration, comme celle-ci implique des inégalités, il faut se placer dans un des deux cas.
on est aussi d'accord sur le fait que
Dans ce cas, pour moi, le signe des fonctions n'intervient pas dans la véracité du théorème.
Je suis personnelement en PT*, et je parlais d'abord ici d'existence de l'intégrale, mais c'est vrai que l'intégrabilité vient de l'absolu convergence! Au temps pour moi!
Merci pour ces explications, mais je continue à avoir des incertitudes... Je crois que le mieux ce serait d'expliquer avec un exemple:
Tenez, prouvons l'intégrabilité de ln(x)/(1+x²) sur [1,+infini[
le corrigé me dit, pour l'étude en +infini , que ln(x)/(1+x²) = o(1/x^(3/2)) , car x^(3/2)*ln(x)/(1+x²) tend vers 0 en +infini
, ce que je peux concevoir... Mais que je n'arrive pas à trouver tout seul... La formule a l'air de sortir d'un chapeau.
J'en appelle à vous!
Le plus simple c'est que tu suives un certain raisonnement:
Déjà il s'agit d'une intégrale généralisé simple, donc il n'y a qu'un cas à étudier.
Ensuite la fonction définie dans ton intégrale est une fonction positive et continue sur [1, +inf[ . Donc, à partir de là tu peux utiliser certains théorèmes.
Si tu veux te simplifier l'écriture (mais ce n'est pas nécessaire comme tu peux le voir dans ta correction), tu peux trouver un équivalent en plus l'infini, en l'occurence ln(x)/x². (Rappel :si f de signe constant et si f equiv g, alors intégrale de f est de même nature que intégrale de g)
De là tu peux essayer de trouver une domination. S'il y a l'existence/convergence de ton intégrale (d'après l'intégrale de Riemann) alors, tu dois trouver un alpha réel compris entre 1 et 2 tel que
(alpha compris entre 1 et 2 car au dénominateur tu as x², mais tout dépend de ce que tu as comme puissance)
3/2 marche très bien..
etc etc..
Tu vois le truc ?
J'espère ne pas t'avoir dit de bêtises
Okkkk c'est exactement ce qui me manquait pour piger le truc! Merci beaucoup, c'est limpide maintenant!
Tu n'arrives pas à comprendre pourquoi la majoration entraîne l'existence de l'intégrale? Si c'est ça, la démonstration vient bien de ce que j'ai dit sur des fonctions positives. Ensuite, que l'absolu convergence entraîne la convergence est une autre paire de manche.
En gros, le théorème dont je t'ai expliqué est démontré pour des fonctions positives.
Ensuite on étudie pour la valeur absolue de la fonction qui nous intéresse, qui est, logiquement, positive!
A partir de la, le but est de se rapprocher d'un exemple de Riemann, ou de Bertrand, qui pourra t'aider à majorer
