convergence d'une intégrale impropre

[invitea2a307a0]

Bonjour,
je cherche à montrer que l'intégrale A = int de 0 à 1 (e^x *ln(1-x) dx) est convergente.

Le corrigé parle de théorème de croissances comparées entre ln(1-x) et 1/racine(1-x) , mais je ne comprends pas l'argumentation.

Merci d'avance pour votre aide.
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[invite4ef352d8]

Salut !

l'idée de ton corrigé est probablement d'utilisé qu'au voisinage de 1 |ln(1-x)exp(x)| < 1/sqrt(1-x) et que 1/sqrt(1-x) est intégrable. (et donc l'intégral de |ln(1-x).exp(x)| est finit, ce qui est exactement la définition de "ln(1-x).exp(x) est intégrable"...)

tu peux aussi (je trouve cela plus simple personellement...) dire que |exp(x).ln(1-x)| est inférieur a -e.ln(1-x), et que tu peut calculer explicitement l'intégral de 0 a 1 de ln(1-x) en utilisant une primitive de ln(1-x) et vérifier que ca converge...

(NB : une primitive de ln(x) est x.ln(x)-x )

[invitea2a307a0]

bonjour,
je te remercie pour ta réponse express.
Je comprends qu'il faut savoir majorer la fonction ln par une fonction dont on sait qu'elle est intégrable.
Ce n'est pas immédiat.
Mais la méthode que tu proposes ne nécessite pas cette connaissance, elle me parait effectivement plus simple.
Cordialement.