Convergence d'une intégrale

[herman]

Bonjour,

Je ne vois pas comment étudier la convergence de l'intégrale suivante :



Je ne trouve pas de résolution rigoureuse pour la borne sup. (la borne inférieure si je ne me trompe pas tend vers 1 donc convergence, pas de problème).
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[invite71b1f7de]

Salut
J'aurais tout simplement dit que le sinus étant borné sur R, sin x /x -> 0 en l'infini...

[Flyingsquirrel]

Salut



En minorant le terme général de cette série tu pourras conclure sur la convergence de ton intégrale.

[herman]

Salut
J'aurais tout simplement dit que le sinus étant borné sur R, sin x /x -> 0 en l'infini...

Non ça ne fonctionne pas, l'intégrale doit diverger normalement il me semble et puis tu penses bien que c'est plus compliqué que ça quand même ^^.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7d40f910]

Bonjour,

akabus47, ton argument disant que +infini est en fait une fausse borne de généralisation est faux : en effet, il n'est valable que pour les bornes finies.

Par contre, pour montrer la divergence de ton intégrale en +infini, tu peux poser F(x)=intégrale de pi à x de |sin(x)/x| avec x dans [pi,+inf[

tu essaies ensuite de minorer F(n*pi) (n entier naturel) par la somme partielle d'une série numérique DV. Par minoration, tu auras F(n*pi) tend vers +infini qd n tend vers +infini (donc il est impossible que F(x) CV qd x tend vers +infini d'où la divergence de ton intégrale.

[herman]

Salut



En minorant le terme général de cette série, tu pourras conclure sur la convergence de ton intégrale.

Oui mais je ne vois pas comment faire, je n'ai jamais eu ce genre de cas...

[invite7d40f910]

Salut



En minorant le terme général de cette série tu pourras conclure sur la convergence de ton intégrale.

convergence ?

[Flyingsquirrel]

Oui mais je ne vois pas comment faire, je n'ai jamais eu ce genre de cas...

Pour , sur ,

convergence ?

"... conclure sur le fait que l'intégrale converge ou non"

[herman]

Sur ,

Là tu majores ?

De toute façon je ne vois pas quoi faire après, intégrer l'équation et la sommer dire qu'elle diverge ?

[ericcc]

Je te suggère de séparer les cas où sin(x) est positif (entre 2kpi et (2k+1)pi) et négatif (entre 2k+1 pi et 2k+2 pi).
Puis tu minores le terme à intégrer par l'aire du triangle sous la courbe qui a un sommet en 2kpi+pi/2 et 2kpi+3pi/2.

[Flyingsquirrel]

Là tu majores ?

Oui
Sur ,

[herman]

Tu reprends ça, tu l'intègres tu obtiens 0...

[Flyingsquirrel]

Tu reprends ça, tu l'intègres tu obtiens 0...

Le sinus est à signe constant dans les intervalles donc j'ai du mal à voir comment l'intégrale peut être nulle.

[God's Breath]

Tu reprends ça, tu l'intègres tu obtiens 0...

M'enfin !!!

.

Donc , et la divergence...

[herman]

Oui God's Breath c'est bien ce que j'ai fait.

Seulement pour moi l'intégrale de c'est et ça ne fait pas 2 mais 0 ?

[invite986312212]

l'intégrale d'une fonction continue et positive qui est nulle, ça ne te semble pas suspect?

[herman]

l'intégrale d'une fonction continue et positive qui est nulle, ça ne te semble pas suspect?

Tu te doutes bien que j'y ai pensé avant toi... je dis simplement qu'il y a un problème dans tout ça et là mon idée serait de majorée sin x par 1 ?

[herman]

Tout mon problème réside dans l'intégration du sinus en valeur absolue.

Si je détaille par exemple de 0 à pi et de pi à 2 pi je vois bien que l'intégrale fait toujours 2 mais je ne vois pas comment intégrer une fonction en valeur absolue ?

[invite986312212]

ah tu me rassures, donc tu sais que l'on n'a pas en général mais seulement l'inégalité.

[inviteb7a5e934]

Tout mon problème réside dans l'intégration du sinus en valeur absolue.

Si je détaille par exemple de 0 à pi et de pi à 2 pi je vois bien que l'intégrale fait toujours 2 mais je ne vois pas comment intégrer une fonction en valeur absolue ?

Il te suffit de remarquer qu'entre et le sinus ne change pas de signe !

et donc tu trouve 2...

[herman]

ah tu me rassures, donc tu sais que l'on n'a pas en général mais seulement l'inégalité.

Ce qui ne permettait toujours pas de répondre à ma question...

Al Don Gate : Oui visiblement intégrer une valeur absolue revient à différencier les cas positifs et les cas négatifs...je cherchais simplement une chimère (je pensais que l'on pouvait intégrer sans différencier grâce à une formule d'intégration).

Enfin bon mon problème est réglé.

Merci à ceux qui ont contribué à l'explication .

[God's Breath]

Oui God's Breath c'est bien ce que j'ai fait.

Seulement pour moi l'intégrale de c'est et ça ne fait pas 2 mais 0 ?

Quelle horeur !!!!!!!!!!!!!

Si est une primitive de , on n'a que très rarement que est une primitive de (pour par exemple.

La fonction est POSITIVE, donc ses primitives sont CROISSANTES, et ne peut être l'une d'elles...

De la formule bien connue , je déduis que , donc que est -périodique.
Cette périodicité permet d'obtenir l'intégrale sur une période sous la forme

[herman]

Je savais que mon raisonnement était faux et je ne l'aurai pas utilisé. Si je l'ai avancé c'était pour comprendre mon erreur, la solution est tout simplement que les mathématiques font du cas par cas quand il s'agit de primitiver une valeur absolue, c'était plus ou moins évident .