Fonctions à 2 variables, vérification

[invitea74569ea]

Bonjour à tous!

Je souhaiterai avoir une confirmation concernant un extrema pour la fonction:
f(x,y) = x^3 + y^3 - 9xy + 27
avec les 2 points candidats (0,0) et (3,3)
Pour (0,0) c'est un point col
Pour (3,3) c'est un minimum (mais local, ou global?)

En cherchant les valeurs propres je trouve 9 et 27, une trace de la matrice hessienne positive et un déterminant positif, je souhaitais en conclure qu'il s'agissait d'un minimum global

Mais mon prof écrit en correction:
f(0,y) limite de y vers l'infini = y^3 - 27 = moins l'infini
=> pas de minimum global

Que faire?

Merci beaucoup!
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[invite7ffe9b6a]

Lorsque tu étudie la matrice hessienne tu en déduis que le point est soit un max local, min local ou point selle.
Pour savoir si il s'agit d'un local ou d'un global il faut les comparer avec les autres extremum trouvés.
Ou trouve t-on des extremums???

-Au points critiques
-Au bord du domaine.

ici ta fonction vaut " - l infini" au bord du domaine, donc ta fonction n'admet pas de minimum global.

Les extremums sur le bord du domaine ne verifie pas l'annulation des derives partielles. C'est le meme principe que pour les fontions a une dimension.
Sur l'interval [0;1] la fonction x->x admet un maximum global en 1 mais la derive ne s'annuler pas en ce point.
Il y a plusieur méthodes pour determiner les extremum sur le bord du domaine.
Dans le cas ou le domaine est R², un calcul de limite.
Si on connait l'equation du bord et qu'on peut le mettre sous la forme y=g(x).
remplacon y par g(x) dans f pour avoir une equation a une variable puis etudier cette nouvelle fonction.
Sinon il existe aussi la méthode des multiplicateurs de lagrange et peut etre d'autres qui ne me vienne pas tout de suite en tete.

[invitea74569ea]

Merci bien pour cette aide