Cette propriété existe-t-elle ?

invitec3143530 · 27/04/2011, 17h39

Bonjour, j'ai remarqué que les anneaux que je connais vérifient tous cette propriété, mais est-elle généralisable pour tout anneau

Dans un anneau (commutatif ?) infini, ou bien tous les éléments sont inversibles (et c'est donc un corps), ou bien uniquement l'élément unité est inversible.

Exemples : Z, K[X].
Contre-exemple pour un anneau fini : Z/12Z qui n'est pas un corps et qui possède d'autres éléments inversibles que 1 comme (7 et 5).

**Seirios** · 27/04/2011, 17h43

Bonjour,

K[X] est en fait un contre-exemple : l'ensemble des polynômes constants sont inversibles (si K est un corps).

**Seirios** · 27/04/2011, 17h44

Pour un contre-exemple dans un anneau non commutatif, tu peux considérer l'anneau des matrices.

invitebe08d051 · 27/04/2011, 17h48

Envoyé par Linkounet

[B]Dans un anneau (commutatif ?) infini, ou bien tous les éléments sont inversibles

Que dire du neutre de la loi additive ?

Contre-exemple

L'anneau des matrices carrés, des endomorphismes et bien bien d'autres.

EDIT: Grillé !!

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