problemes sur les congruences

[invite047973d4]

Voila un probleme de spé math que je n'arrive pas a resoudre.
Voici l'enoncé:

On admet que 250507 n'est pas premier.On se propose de chercher des couples d'entiers naturels (a;b) vérifiant la relation
(E): a²-250507=b²

1.Soit X un entier naturel.
a.Donner dans un tableau, les restes possibles de X modulo 9 ; puis ceux de X² modulo 9.
b. Sachant que a²-250507=b², déterminer les restes possibles, modulo 9 de a²-250507:en déduire les restes possibles modulo 9 de a².
c. Montrer que les restes possibles modulo 9 de a sont 1 et 8.
2.Justifier que si le couple (a;b) vérifie la relation (E), alors a>=501.
Montrer qu'il n'existe pas de solution du type (501;b).
3. On suppose que le couple (a;b) vérifie la relation (E).
a. Démontrer que a est congru à 503 ou à 505 modulo 9.
b. Déterminer le plus petit entier naturel k tel que le couple (505+9k;b) soit solution de (E), puis donner le couple solution correspondant.

quelqu'un peut me venir en aide svp.
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[invite047973d4]

pour la question 1a, jai trouvé: X r
(0+9k) 0
(1+9k) 1
(2+9k) 2
...
(8+9k) 8

pour le X² je dis que (0+9k) est congru à 0 donc (0+9k)² congru à 0²
(1+9k) est congru à 1 donc (1+9k)² congru à 1²
etc
et je trouve comme restes {0 1 4 7}

b.les restes de a²-250507 sont les memes que b²=X² donc {0 1 4 7}

a²-250507=b²
donc a²=b²+250507
or 250507 est congru à 1 mod 9
donc a² a les memes restes que b²+1
donc {1 2 5 8}

et a partir de là, je suis bloqué.

[invitead065b7f]

Salut,

tu remarques alors que la seule intersection de tes deux ensembles est 1, c'est à dire que a² modulo 9 vaut 1 (les autres valaurs ne sont pas ateignables ar ton cacul précédent). Ce qui veut dire par le tableau que tu viens de calculer que a vaut 1 ou 8 modulo 9...


2) Il faut que b² soit positif, c'est très pratique quand on est un carré .

3) a)Théorème de la question précédente, se référer à 1)
b) Je ne vois pas d'autres solutions qu'un peu de calcul bête et méchant... Mais je suis myope à la base


Amicalement
Moma

[Jeanpaul]

Si a² congru à {0 1 4 7} et b²+250507 congru à {1 2 5 8} et que ces nombres sont égaux, c'est forcément que a² est congru à 1 donc que a est congru à ...

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3d7be5ae]

2:sqrt(250507)<501 donc 501 est le plus petit a.
501^2-250507=494
sqrt(494)~=22.23
3.a:regarde au-dessus 503=8 mod 9, 505=1 mod 9.
3.b:k=1,a=514,b=117