'Lisser' le bord d'un ensemble ?

[inviteaf8695f1]

Bonjour,

La question est toute simple : Pour un compact K inclus dans un ouvert (dans R^n), trouver un ensemble tel que ait un bord lisse (de calsse C^1).

Je cherche à résoudre ce point, qui est implicitement utilisé dans une démonstration.

J'ai pensé considérer l'ensemble E={x:d(x,K)<epsilon}, mais le bord n'est pas forcément lisse...
-----

[invitefcdf698a]

Bonjour,

Il me semble que le théorème de Sard permet d'obtenir le résultat.

Reprenons l'ensmble que vous avez introduit: . On peut convoluer sa fonction indicatrice avec une approximation de l'unité à support compact pour obtenir une fonction qui vaut 1 sur un voisinage de K, et à support compact dans .

Le théorème de Sard dit que pour presque tout , la "ligne" de niveau est bien régulière (appliquer le théorème des fonctions implicites).

Vous pouvez consulter le théorème 3.42 dans le livre d'Ambrosio, Fusco, Pallara "Functions of bounded Variations and free discontinuity problems", cela est très proche.

[inviteaf8695f1]

Bonjour,

Merci pour votre aide, je vois tout à fait la preuve maintenant.
Honte à moi, j'avais effectivement utilisé le lemme de Sard dans le même rapport que je rédige, sans avoir pensé à l'appliquer dans ce cas là.

Je cherchais ainsi à comprendre pourquoi l'on pouvait appliquer le théorème de la divergence pour une fonction à support compact. (et ainsi démontrer rigoureusement que les valeurs au bord son nulles). Voilà enfin une justification mathématique