Bonjour,
On appelle matrice verticale magique (v-magique) si la somme des colonnes sont toutes égales.
On me demande de prouver qu' une matrice v-magique inversible a une somme de chaque colonne forcément non nulle.
J'ai montré que la réciproque est fausse.
J'ai pensé à faire la contraposée : si une matrice v-magique a une somme nulle de chacune de ses colonnes, alors elle n'est pas inversible.
Mais je reste toujours coincé malgré cela ...
Bonjour,
Si j'ai bien compris, si les ai,j sont les coeffs d'une matrice v-magique A d'ordre n, alors pour tous i et j entre 1 et n, on a :
Si c'est le cas j'ai peut-être une idée pour prouver que si A est inversible alors ces sommes sont non nulles. C'est un peu tordu et y a peut-être plus simple mais je propose la piste quand même.
Soient E=Rn, e1,...,en les vecteurs colonnes de A et u le vecteur (1,...,1).
Munissons E du produit scalaire canonique <,>.
1) Pour tout i, que vaut <u,ei> ?
2) Supposons A inversible. Que peut-on dire de la famille (e1,... ,en) de E ?
En remarquant que u est non nul, qu'est-ce que ça signifie sur les <u,ei> ?
J'espère avoir été clair,
Bonne chance,
Silk
Je pense que cela fonctionne : peux-tu vérifier mon raisonnement et me dire si c'est OK ?
1) <u,ei> vaut la somme des coordonnées du vecteur ei.
2) A est inversible, donc A est la matrice d'un endomorphisme f bijectif.
Donc f est injectif.
Donc rang(A) = n
Donc la famille des ei de E est libre.
Donc aucun des ei a toutes ses coordonnées nulles. FIN.
(Remarque : on peut se passer du vecteur u non ?)
Je suis d'accord jusqu'à aucun des ei a toutes ses coordonnées nulles.
Mais ça, ça suffit pas, si tu considères le vecteur (1,-1) de R2, aucune de ses coordonnées n'est nulle mais la somme de ses coordonnées l'est.
Je pense donc qu'il faut utiliser u. Comme tu l'as dit <u,ei> vaut la somme des coordonnées du vecteur ei, donc tous les <u,ei> sont les mêmes car A est v-magique.
Tu veux prouver qu'ils sont non nuls. Tu peux le faire par l'absurde.
Je te laisse y réfléchir.
Silk
Voila quelques traces de ma recherche :
Si les <u,ei> étaient nuls, alors la somme des cordonnées des ei est nulle.
Donc la somme des cordonnées de ci*ei est nulle ( ci réel quelconque non nul ).
Donc la somme des coordonnées d'un vecteur v qui est combinaison linéaire des ci*ei est nulle.
Les ei est une famille libre, donc ci est nul pour tout i.
Hmm, pourquoi "la somme des coordonnées d'un vecteur v qui est combinaison linéaire des ci*ei est nulle" avec "Les ei est une famille libre" implique que les ci sont nuls ? Ca serait vrai si la combinaison linéaire était le vecteur nul, mais le fait que la somme des coordonnées est nulle te suffit pas.
Moi je pensais plutôt à ça :
Supposons que pour un certain i, la somme des coordonnées de ei est nulle. A étant v-magique, chaque somme des coordonnées des ei est nulle, ce qui donne donc : pour tout i entre 1 et n, <u,ei>=0.
Soit x un vecteur quelconque de E, que peux-tu dire de <u,x> ? Qu'en conclues-tu sur u ? Tu devrais alors pouvoir terminer ton raisonnement par l'absurde.
Silk
x est une combinaison linéaire des ei.
Comme le produit scalaire est linéaire et si <u,ei>=0 pour un certain i ( comme A est v-magique, c'est vrai en fait pour tout i), alors <u.x> est nul pour tout vecteur x.
Donc u est le vecteur nul, ce qui est absurde.
Merci de ton aide !
(E est de dimension n; donc les ei constituent une base de E (car la famille des ei est libre maximale).
C'est pourquoi je peux dire que x est une combinaison linéaire des ei.)
C'est bien le raisonnement auquel je pensais
Silk
