Utilité du déterminant ?

[invitea5ab8741]

Bonjour,

Soit f une application linéaire ayant pour matrice :



On me demande de déterminer à l'aide d'un déterminant (sans le calculer) les valeurs tels que pour le vecteur x non nul on ait :
Pour chaque valeur de lambda, on me demande de déterminer un vecteur x.

Voila ce que j'ai fait:

Je pose e1;e2 et e3 les vecteurs de la base de départ de f.
Soit le vecteur x= a*e1 + b*e2 + c*e3.
Donc je trouve : f(x) = (b+2c)*e1 + (a+2c)*e2 + (2a+b)*e3.

D'ailleurs je remarque que en terme de déterminants :



Donc on observe une symétrie, mais en quoi cela peut-il m'avancer ?
Pouvez-vous m'expliquer l'intérêt du déterminant pour résoudre cet exercice et me donner à titre d'exemple une valeur de ce lambda en utilisant le déterminant.
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[invite81055034]

Bonjour,

Le but de l'exercice est de diagonaliser l'endomorphisme représenté par ta matrice A.
En termes moins techniques, on cherche les vecteurs x qui sont tels que f(x)= lambda*x. Tu verras que de tels endomorphismes possèdent des propriétés intéressantes.

Pour déterminer les lambda qui satisfont à cette propriété (appelés aussi les valeurs propres de l'endomorphisme),
Il faut poser lambda un réel et calculer le déterminant de la matrice A - lambda*I3.

Selon les valeurs de lambda, le déterminant s'annule, celà correspond aux valeurs de lambda pour lesquelles l'endomorphisme f - lambda*Id n'est pas injectif (car il est non inversible) et son noyau n'est donc pas réduit à l'élément nul, d'où l'existence de x qui satisfont à la propriété !

Commence par calculer le déterminant de la matrice A - lambda*I3 et tu verras que tu obtiens un polynôme. Il ne te reste plus qu'à déterminer les racines de ton polynôme.

 Cliquez pour afficher

On trouve comme racines : 3,-2,-1

[invitefa064e43]

pour que tu saisisses mieux lpourquoi il y a un déterminant la dedans :

Si une app. linéaire possède des zéros (autre que x=0), alors l'app est non-inversible. Donc son déterminant fait 0.

pourquoi je dis ça ?

car en fait tu cherches les x t.q. ....

[invitea5ab8741]

Merci de vos réponses, je comprends l'intérêt de l'exercice maintenant !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitea5ab8741]

Il est d'ailleurs inutile de calculer le déterminant grâce à la symétrie du déterminant de A que j'ai indiqué dans mon premier post (comme quoi, j'ai trouvé à quoi cette symétrie pouvait servir ...)