différentiabilité complexe (difficulté avec une démonstration)

[Bartolomeo]

Bonjour,

C´est au début da la démonstration que j´ai des difficultés à comprendre:

il s´agit de montrer que pour une fonction
avec un ouvert inclu dans et en écrivant avec , , les affirmations suivante sont équivalente:
(i) f est complexe-differentiable en .
(ii) f est totalement differentiable au sens reel en et les équations différentielles de Cauchy Riemann sont vérifiées.

Preuve:
f est differentiable au sens complexe en et , d´après la définition on a:


ce qui est équivalent à

...

D´après la définition on a

je ne connaisais pas la définition avec la valeur absolue, mais bon admetons, de toute facon ca tant tjs vers zéro.
Par contre de dire que c´est équivalent avec

qu´est ce qui me permet d´enlever la valeur absolu au numérateur?
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[chlorydrique]

soit f une fonction de R dans C:
par déf., lim f(t) qd t->a égale b ssi lim|f(t)-b| quand t->a égale 0, avec |z| désignant le module de z.

donc lim f(t) qd t-> a égale 0 ssi lim|f(t)| qd t-> a égale 0.
Quand la limite est 0, on peut écrire ou non le module.

Bien sûr, ce ne serait pas vrai quand la limite n'est pas 0.
en général, lim f(t) qd t-> a est différent de lim |f(t)| qd t ->a

on peut donc écrire:
lim |f(t)/t| = 0 ssi (1) lim [|f(t)|/|t|] = 0 ssi(2) lim [f(t)/t] = 0
ssi(3) lim [f(t)/|t|] = 0

(1) vient d'une propriété des modules (celle que vous évoquez)
(2) vient de ce qui précède
(3) vient de, par exemple:

lim[f(t)/t] =0 ssi |f(t)/t| < e dès que ... ssi |[f(t)/|t|] <e dès que ... ssi lim [f(t)/|t|] = 0

[Bartolomeo]

merci beaucoup pour cette réponse!