Démonstration avec une rotation (complexes)

[invite924e7419]

Bonjour à tous, pouvez vous me dire de où je dois partir pour démontrer celà:

ABC est un triangle équilatéral direct avec A(a), B(b) et C(c), les affixes des points.
En utilisant la rotation de centre B et d'angle, démontrer que

(j est un nombre complexe de module 1 et d'argument

j'ai essayé de chercher, comme ABC est un triangle équilatéral direct, on a |a-b|=|b-c|=|c-a|,mais je ne sais pas d'où partir avec la rotation...

Merci d'avance!
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[invite3df1c846]

Salut!!

Pour retrouver l'égalité, il te faut retrouver la formule de rotation de complexe qui est, par exemple ici (un dessin peut te permettre de retrouver la formule parfois)








et de t'en servir à bon escient ^^

[invite924e7419]

Merci beaucoup pour ta réponse!
je vais essayer de le faire avec ce que tu m'as dit! Merci !

[invite924e7419]

Re bonjour!
Je ne comprends pas quelle information il faut tirer de l'indication "équilatéral direct"

cela veut bien dire que

b-a=c-b=a-c non?

donc que c-b=(b-a)e non?

merci!

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3df1c846]

Re bonjour!
Je ne comprends pas quelle information il faut tirer de l'indication "équilatéral direct"

cela veut bien dire que

b-a=c-b=a-c non?

Plutôt comme ça qu'il faut le voir c'est équilatéral qui entraîne l'égalité et

donc que c-b=(b-a)e non?

merci!

Le sens direct qui entraîne le -. En gros ton direct veut seulement dire que lorsque tu tourne dans le sens positif d'un cercle trigo (le sens direct), tu rencontreras successivement A, puis B puis C (ou aussi B puis C puis A) mais dans cet ordre là en tout cas !!

[invite924e7419]

Ok , j'ai essayé de faire le calcul dans le train mais je n'ai pas réussi a conclure...
J'ai essayé de remplacer la valeur de a,b,c dans l'expression avec:





Mais quand je continue le calcul je ne trouve pas 0.

Alors soit ce sont des erreurs de calcul, soit je n'y suis pas du tout soit j'ai encore rien compris au sens avec equilatéral direct...

Bon bah merci beaucoup!

[invite3df1c846]

J'ai regardé seulement ta première formule, qui est fausse ^^

Je ne sais pas si c'est une erreur de frappe ou pas mais si elle n'est pas fausse, c'est du moins pas comem ça qu'il faut l'utiliser!!

La formule d'une rotation de centre O(o) d'angle d'un point A(a) à un point B(b) s'exprime pas la relation :







En fait, le plus simple pour s'en souvenir est de dessiner et de voir les vecteurs OB et OA, qui ont successivement les coordonnées (b-o) et (a-o).


Ici, il n'est nécessaire de se servir que d'une seule égalité pour arriver à démontrer la relation, et je te propose d'utiliser celle avec l'affixe c



donc



Attention par contre, le sens direct de ton triangle ici va entraîner un angle négatif (car rotation de sens indirect)!!

Tu isoles le c, tu l'injectes dans ta relation, tu développes et tu rassembles tes termes en b et en a (tu auras très vite fait avec les termes en a, il te suffira de passer de la forme expo à la forme algébrique, quant à ceux en b, tu factorises et tu verras que ça va aussi tout seul en mettant sous forme algébrique).

Normalement tu ne devrais pas avoir de problème il faut seulement que tu arrives à appliquer la formule générale au vecteur BC, ce qui ne devrait pas poser beaucoup de problèmes ^^

Bonne rentrée !!

[invite924e7419]

je te propose d'utiliser celle avec l'affixe c



donc

Merci beaucoup pour ta réponse, mais je ne comprends pas un truc: comme , il faut que

Or ici (c-b)=BC et quand je regarde sur un triangle, avec une rotation de -60°, je vois BC=AB(b-a)

donc pour moi (c-b)=(b-a)e

merci !

[invite924e7419]

Autant pour moi!!! j'ai enfin compris, c'est donc
Pfff il m'en a fallu du temps...

merci beaucoup! je vais faire comme tu m'as dit dans ton dernier post!

bonne soirée!

[invite924e7419]

Une derniere petite question, quand tu dis qu'il faut que je passe sous la forme algébrique, il s'agit aussi de passer sous la forme algébrique?

Merci beaucoup!

[invite3df1c846]

Bon je ne sais pas si cet exo était pour aujourd'hui ou non mais je poste quand même (en sachant qu'il est possible que tu ais aussi trouvé la réponse depuis)

Normalement après avoir injecté ton c dans ton expression et après avoir développé ton carré (j²) avec l'expression de c, tu as dû regrouper tous les b et les a chacun de leurs côté en factorisant.

Tu dois donc avoir quelque chose de la forme





Dsl je n'ait plus le calcul sous les yeux ^^
Bref, c'est à partir de là qu'effectivement tu dois passer sous forme algébrique tes formes expo, en passant par la forme trigo si tu préfères, c'est plus prudent et pas beaucoup plus long, et tu te rendras vite compte que ces angles , ... sont tous des angles remarquables donc tu pourras facilement trouver leur cosinus et leur sinus et donc additionner toutes les valeurs algèbriques réelles et imaginaires.

Pour t'apercevoir que les parties imaginaires et réelles seront nulles (comme prévu y a pas de surprises ^^)

[invite924e7419]

Merci pour cette dernière réponse! J'ai tout compris à l'exo... ouf!!