Une suite avec des complexes

[invite0dc64a4b]

Bonjour !
J'ai un p'tit souci minime ; j'suis dessus depuis un bon moment alors que ça devrait être tout bête.

J'ai 2 suites réelles (x_n) et (y_n) définies par :
x₀=1 , y₀=0 , et pour tout n, :
x_n= x_n-1 + y_n-1
y_n= y_n-1 - x_n-1

z_n = x_n + iy_n

Après m'avoir demandé de montrer que pour tout n, les termes x_n et y_n sont des éléments de "grand Z", on me demande de montrer que z_n est une suite géométrique dont on précisera la raison et le 1er terme.


Alors, premièrement, je n'ai pas réussi à montrer la 1ère partie de l'énoncé.
Et deuxièmement, quand je bidouille avec z_n+1, je tombe sur :
z_n+1 = z_n + y_n - ix_n

ce qui ne correspond pas vraiment à la forme d'une suite géométrique.

Merci de bien vouloir m'aider si vous avez une idée !
-----

[Médiat]

Et deuxièmement, quand je bidouille avec z_n+1, je tombe sur :
z_n+1 = z_n + y_n - ix_n

ce qui ne correspond pas vraiment à la forme d'une suite géométrique.

Ce qui correspond parfaitement à une suite géométrique .

il faut juste remarquer que
y_n - ix_n = -i (x_n + iy_n)

[invited5b2473a]

Bonjour !

Après m'avoir demandé de montrer que pour tout n, les termes x_n et y_n sont des éléments de "grand Z"

Par récurrence sur n.

on me demande de montrer que zn est une suite géométrique dont on précisera la raison et le 1er terme.

z(n+1) = xn + yn + i(yn - xn) = xn(1-i) + yn(1+i) = xn(1-i) +iyn(-i+1)= zn*(1-i)