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Difficulté avec la notation complexe et la trigo



  1. #1
    invite19431173

    Difficulté avec la notation complexe et la trigo


    ------

    Bonsoir !

    J'ai un soucis avec une correction d'un exercice pour passer de la première ligne à la seconde (il s'agit de la solution générale d'une équation différentielle). Voici ce qu'ils me disent :



    en notation réelle (je ne sais même pas ce que ça veut dire)



    Si quelqu'un pouvait me dire s'il y a beaucoup de ligne pour le calcul intermédiaire...

    -----

  2. #2
    fderwelt

    Re : Difficulté avec la notation complexe et la trigo

    Bonsoir,

    Le fait ue A et B soient des vecteurs ne change rien à l'affaire, ce ne sont que des coefficients. C'est juste une manière d'acrire trois équations simultanées (en dimension 3, je veux dire).

    Il suffit de savoir que, par définition, exp(ix) = cos(x)+i.sin(x). Ça se justifie par les développements en série entière de exp, sin et cos.
    Après, l'exponentielle a toutes les propriétés habituelles, d'où:
    exp(x+iy) = exp(x).exp(iy) = exp(x).[cos(y) + i.sin(y)]

    Et voilà.

    -- françois
    Les optimistes croient que ce monde est le meilleur possible. Les pessimistes savent que c'est vrai.

  3. #3
    Coincoin

    Re : Difficulté avec la notation complexe et la trigo

    Salut,
    Ca se fait bien, mais il vaut mieux partir de la fin. Je fais sauter les qui ne posent pas problème, et je prends pas la peine de mettre les flèches sur les vecteurs parce que j'ai la flemme.

    Tu as donc
    Tu regroupes :
    Et tu poses et

    C'est tout !

    Bref, ta solution générale s'exprime en fonction de deux fonctions, mais tu peux dans une certaine mesure choisir lesquelles (une sorte de changement de base).

    Si tu veux t'entraîner, fais la même chose dans l'autre sens : développe les exponentielles en sommes de cosinus et de sinus, mouline, et identifie a et b.
    Encore une victoire de Canard !

  4. #4
    invite19431173

    Re : Difficulté avec la notation complexe et la trigo

    Merci fderwelt et merci mon canard !

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Coincoin

    Re : Difficulté avec la notation complexe et la trigo

    Juste un truc : rajoute les "i" partout où je les ai oubliés (c'est-à-dire partout où y a des sinus)

    Encore une victoire de Canard !

  7. #6
    invite19431173

    Re : Difficulté avec la notation complexe et la trigo

    oui oui, j'avais vu l'oubli... le truc, c'est que maintenant, ben je retombe pas sur la même expression. Je détaille les 3 lignes de mon calcul :




    Ce qui donne :



    Contrairement à ma correction, j'ai donc un i, moi...

    Je suis bon pour la poubelle ?

  8. #7
    Coincoin

    Re : Difficulté avec la notation complexe et la trigo

    Si la correction dit "a et b réels" alors elle a faux, et tu peux te sortir de la poubelle pour l'y mettre...
    Encore une victoire de Canard !

  9. #8
    edpiste

    Re : Difficulté avec la notation complexe et la trigo

    la solution est à valeurs réelles si et suelment si les coeff a et b sont à coeff. réels, non ?

  10. #9
    edpiste

    Re : Difficulté avec la notation complexe et la trigo

    Autrement dit, si A et B sont à coeff complexes, b=i(A-B) peut très bien être à coef. réels...

  11. #10
    Coincoin

    Re : Difficulté avec la notation complexe et la trigo

    Effectivement, mais si les A, B, a et b sont tous réels, y a un i qui manque, non ?
    Encore une victoire de Canard !

  12. #11
    invite19431173

    Re : Difficulté avec la notation complexe et la trigo

    Oula, je sens que j'ai pas fini d'en baver... Voici ce que dit ma correction :
    Citation Envoyé par benjy_star Voir le message


    en notation réelle (???)

    Et si j'ai bien compris, il manque dans la correction un i devant mon , c'est ça ?



    Edit : voilà Coincoin, on est d'accord... Est-ce que la phrase en rouge change quelque chose ? Il s'agit d'un mouvement d'oscillation, tout simplement...

  13. #12
    Coincoin

    Re : Difficulté avec la notation complexe et la trigo

    Ok, j'ai compris notre erreur !
    Le "en notations réelles" signifie qu'on reprend la partie réelle pour revenir à quelque chose de physique. Donc il ne faut pas chercher à égaliser strictement les deux équations.

    Du coup, les A et B sont complexes, tandis que a et b sont réels.

    Une autre solution équivalente est un truc de la forme .
    Encore une victoire de Canard !

  14. #13
    Coincoin

    Re : Difficulté avec la notation complexe et la trigo

    Bref, en notations complexes, on a un truc du genre et quand on repasse en réels, on a : (où est la partie réelle) qu'on peut identifier à l'expression recherchée.
    Encore une victoire de Canard !

  15. #14
    invite19431173

    Re : Difficulté avec la notation complexe et la trigo

    Alors si A et B sont des coefficients réels, logiquement, toute la partie de droite est imaginaire...?

  16. #15
    edpiste

    Re : Difficulté avec la notation complexe et la trigo

    Pour être un peu plus précis : le "en notations réelles" signifie que les solutions de base exp(-sigma t)cos(omega t) et exp(-sigma t)sin(omega t) sont des fonctions à valeurs réelles : elles permettent de générer toutes les solutions à valeurs réelles (qd a et b sont réels) ET toutes les solutions à valeurs complexes (qd a et b sont complexes).

  17. #16
    edpiste

    Re : Difficulté avec la notation complexe et la trigo

    Citation Envoyé par benjy_star Voir le message
    Alors si A et B sont des coefficients réels, logiquement, toute la partie de droite est imaginaire...?
    Non je pense plutôt que i(A-B) est réel, c'est-à-dire A-B est imagniare pur (il y avait une petite erreur dans le dernier post de coincoin)

  18. #17
    invite19431173

    Re : Difficulté avec la notation complexe et la trigo

    OK OK, donc j'ai bien compris le calcul, et je vais remettre un peu ma correction en doute...

    Merci bien !

  19. #18
    Coincoin

    Re : Difficulté avec la notation complexe et la trigo

    il y avait une petite erreur dans le dernier post de coincoin
    Oups ! Encore une boulette de ma part ! Il faut lire :



    je vais remettre un peu ma correction en doute...
    La correction a juste finalement
    Encore une victoire de Canard !

  20. #19
    invite19431173

    Re : Difficulté avec la notation complexe et la trigo

    A ben vu comme ça, oui, je comprends mieux ! Mais alors pourquoi avoir pris la partie imaginaire, juste "parce qu'on s'arrange", ou y'a une réelle et rigoureuse raison ?

  21. #20
    Coincoin

    Re : Difficulté avec la notation complexe et la trigo

    J'ai juste pris la partie réelle de ton expression : en faisant gaffe que A et B peuvent être complexes.
    Par exemple, si A-B=x+iy avec x et y réels, alors i(A-B) a pour partie réelle -y, c'est-à-dire Im(B-A).
    Encore une victoire de Canard !

  22. #21
    invite19431173

    Re : Difficulté avec la notation complexe et la trigo

    OK OK, je vois...

    Merci à tous !

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