Bonjour,
J´ai la question suivante: Je sais qu´un vecteur dont les coordonnées sont gaussiennes n´est pas forcément gaussien.
Mais je sais que la matrice de covariances d´un vecteur gaussien est symétrique.
Ne peut-on pas affirmer que si mon vecteur est composé de v.a.r. gaussiennes ET que sa matrice de covariances est symétrique, alors mon vecteur est gaussien?
merci d´avance
christophe
mais une matrice de variance est toujours symétrique, ce n'est pas spécifique à la loi normale.
oh pardon... là c´est une erreur monumentale, j´ai besoin de vacances.
alors disons d´une façon plus générale: Quand j´ai un vecteur constitué de v.a.r. gaussienne. J´ai sa matrice de covariances. Comment puis-je trouvé si c´est un vecteur gaussien ou non.
tu ne peux pas.
essaie de trouver le livre de Stoyanov "counterexamples in probability" (chez Wiley). Cette question est traitée en détail.
Pourtant je me pose la question suivante:Envoyé par ambrosio
Si j´ai un vecteur X composé de v.a.r. gaussiennes standard N(0,1) indépendantes. C´est alors un vecteur gaussien non?
Alors toute combinaison linéaire A.X de X est un vecteur gaussien centré. Ensuite, en y ajoutant une moyenne m, A.X + m est aussi un vecteur gaussien.
Maintenant supposons la démarche inverse: J´ai un vecteur X composé de v.a.r. gaussiennes quelconques. Disons que E(X) = m et cov(X) = Q.
Q étant symétrique, elle est diagonalisable:
- Cov(X) = Q = A.D.At.
- D est diagonale
- A est orthogonale, donc At = A-1
Alors en posant Y = At.(X-m), j´obtiens cov(Y) = D.
Si par hasard D = In ou seulement un multiple de In, alors Y est un vecteur gaussien, donc X, combinaison linéaire de Y aussi non?
le problème c'est que là tu prends une combinaison linéaire de variables gaussiennes, mais tout ce qu'on sait c'est qu'une combinaison linéaire des composantes d'un vecteur gaussien est une variable gaussienne. Si la loi conjointe n'est pas gaussienne on ne peut rien dire.
