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application reciproque



  1. #1
    merak

    application reciproque


    ------

    Bonjour

    quelle est l'application reciproque de A-->(A inter Y,A inter Z) ?


    ou f est une appli de E dans P(Y)xP(Z)

    et aussi : f est bijective ssi "Y U Z = E " et "Y inter Z= (ensemble vide)" .

    -----

  2. #2
    moijdikssékool

    Re : application reciproque

    f est bijective ssi "Y U Z = E " et "Y inter Z= (ensemble vide)"
    posons f(a) = (fai,faj)

    non B => non A, facile (contre-exemple). donc A => B

    réciprok: supp "Y U Z = E " et "Y inter Z= (ensemble vide)"
    inj, facile, f(A1) = (fa1i, fa1j) = f(a2i, fa2j) = f(A2), A1 = fa1i union fa1j = fa1i union fa2j = fa2i union fa2j= A2
    surj, trivial, pour tout (fi, fj) dans P(Y)xP(Z), il existe un A tel que f(A) = (fi, fj), il suffit de prendre A = fi union fj car A inter Y = (fi union fj) inter Y = fi inter Y union fj inter Y = fi et A inter Z =... = fj

    donc B => A

    f étant bijective, on peut espérer lui trouver une réciproque. Elle existe:
    suffit de prendre f' de P(Y)xP(Z) dans E qui à tout (a, b) dans P(Y)xP(Z), associe (a union b)
    et est donc unique (puisque f est bijective)

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