application reciproque

[merak]

Bonjour

quelle est l'application reciproque de A-->(A inter Y,A inter Z) ?


ou f est une appli de E dans P(Y)xP(Z)

et aussi : f est bijective ssi "Y U Z = E " et "Y inter Z= (ensemble vide)" .
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[moijdikssékool]

f est bijective ssi "Y U Z = E " et "Y inter Z= (ensemble vide)"

posons f(a) = (fai,faj)

non B => non A, facile (contre-exemple). donc A => B

réciprok: supp "Y U Z = E " et "Y inter Z= (ensemble vide)"
inj, facile, f(A1) = (fa1i, fa1j) = f(a2i, fa2j) = f(A2), A1 = fa1i union fa1j = fa1i union fa2j = fa2i union fa2j= A2
surj, trivial, pour tout (fi, fj) dans P(Y)xP(Z), il existe un A tel que f(A) = (fi, fj), il suffit de prendre A = fi union fj car A inter Y = (fi union fj) inter Y = fi inter Y union fj inter Y = fi et A inter Z =... = fj

donc B => A

f étant bijective, on peut espérer lui trouver une réciproque. Elle existe:
suffit de prendre f' de P(Y)xP(Z) dans E qui à tout (a, b) dans P(Y)xP(Z), associe (a union b)
et est donc unique (puisque f est bijective)