Convexité et dérivés partielles

[invite0d9b859e]

Bonjour,

Dans un exercice, j'ai une fonction g: U->g(U), (u,v)->g(u,v) où U={(u,v) / 4u+8v²>0}.
De plus, (E) sur U.
Seulement, U n'est pas convexe. Comment puis-je alors déterminer toutes les solutions de l'équation (E)?

Merci d'avance
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[invite57a1e779]

Pour tout , l'application partielle : est définie pour , c'est-à-dire sur l'intervalle ; cette application est dérivable, de dérivée nulle : elle est donc constante puisque définie sur un intervalle, c'est-à-dire que ne dépend pas de .

Les solutions sont donc les applications de la forme où est une application dérivable de dans lui-même.

[invite0d9b859e]

OK merci pour ton aide

[invite0d9b859e]

J'ai un autre exemple cependant sur lequel je n'arrive pas à conclure en utilisant les applications partielles.
Soit g: U->g(U), (u,v)->g(u,v) où U={(u,v) / u²-4v>0} et à résoudre (E): .
U n'est pas convexe mais si j'utilise l'application partielle , je n'arrive pas à déterminer un intervalle sur lequel est définie.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite57a1e779]

Toujours le même principe : pour tout , la dérivée de l'application partielle est nulle, donc cette application partielle est constante sur chaque intervalle de son ensemble de définition.

L'ensemble de définition de est , c'est-à-dire :
– si ;
– si .

On en déduit que :
– si , alors est constante ;
– si , alors est constante sur chacun des intervalles et , mais peut prendre des valeurs différentes sur chacun d'eux ;
c'est-à-dire que ne dépend que de pour , mais dépend de et du signe de pour .
Un argument de continuité permet de prouver qu'en fait, pour , ne dépend pas du signe de .

[Tiky]

Tu as :


Sauf erreur, g est donc constante sur l'ouvert convexe .
Elle est également constante sur l'intervalle et sur l'intervalle

Donc g doit être de la forme
Avec G une fonction dérivable et :
- si
- si
- si

Edit : grilled

[invite0d9b859e]

Merci beaucoup à tous les deux