trigonalisation hors programme psi

[invitefe803c93]

Merci de m'aider à trigonaliser pour répondre à cette Question , en effet , comme c hors programme , je dois expliciter la base dans la quel A est trigonalisable .

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[Tiky]

L'exercice ne traite pas de trigonalisation mais de diagonalisation. Tu es sûr que c'est le bon sujet ?

[invitefe803c93]

oui , en effet pour traduire que A^n est non nul on a besoin de trigonaliser , et comme c hors programme je dois trouver une base de trigonalistation , merci de votre aide demain je serais coller

[invite332de63a]

Bonjour, comme le rang de A est 2 sous quelle forme peux tu mettre A?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitefe803c93]

Bonjour, comme le rang de A est 2 sous quelle forme peux tu mettre A?

Donc on a

[invitefe803c93]

il ya une ptite coquille , il suffit de remplacer 6 par 8 et 7 par 9

[invitefe803c93]

maintenant faudrais choisir en-1 et en de sorte que a9 soit nul . comment faire ?

[Tiky]

Tu n'as absolument pas besoin de trigonalisation. Une méthode pour résoudre l'exercice :

1) Que signifie rg(A) = 2 en terme de valeurs propres. En déduire les différents polynômes caractéristiques possibles de A.
2) Donne une relation entre tr(A) est les valeurs propres de A
3) Que signifie nilpotent en terme de polynôme annulateur.

[invitec3143530]

D'après ce que je sais :

rg(A) = 2 signifie que sous sa forme "la plus réduite" seuls les deux premières colonnes sont non nuls, la 1ère colonne est nul sauf le premier coefficient qui ne l'est pas forcément. La 2ème est nulle sauf les deux premiers coefficients qui ne le sont pas forcément.

A^n =/= 0 signifie qu'elle n'est pas triangulaire stricte (triangulaire avec des 0 sur la diagonale).

tr(A) = 0 signifie que a11 +a22 = 0 et comme a11 et a22 ne peuvent être simultanément nuls (d'après les résultats précédents) alors a22 = -a11 sont tous les deux non nuls

Comme elle a deux valeurs propres distinctes [Car dans une matrice triangulaire sur C les coefficients diagonaux sont ses valeurs propres] elle a deux vecteurs propres distincts donc a12 =/= 0.

Elle est donc diagonalisable.
Sauf erreurs

Ps : je note aij le coefficient de la ième ligne jième colonne

[invitec3143530]

Une petite précision à mon message : j'ai dit qu'elle avait deux vecteurs propres car 2 valeurs propres différentes implique l'existence d'au moins deux vecteurs propres, et elle ne peut pas avoir plus de 2 vecteurs propres car si c'était le cas elle serait de rang supérieur à 2 (absurde) donc elle a bien 2 vecteurs propres qui sont les 2 premières colonnes (et donc a12 = 0)

[Tiky]

Tu peux aussi tout faire à l'aide du polynôme caractéristique. Ce qui évite de parler des coefficients de la matrice. Mais fondamentalement, c'est exactement la même réponse.

Comme et que tout polynôme est scindé sur , on sait que le polynôme caractéristique est de la forme :

- si , alors et d'après Caley-Hamilton, le polynôme caractéristique annule A, donc . C'est absurde.

- si , alors . C'est absurde. Le cas est identique.

- si et sont non-nuls. Les dimensions des espaces propres sont égales aux multiplicités des racines du polynôme caractéristique. A est diagonalisable dans . Comme , on a de plus