Division euclidienne dans un anneau et stathme euclidien.

[fred3142]

Bonjour.

Si est un anneau, on dit que est muni d'une division euclidienne s'il existe une application vérifiant :
(1) :
(2) : avec ou
Puis on définit un anneau euclidien comme étant un anneau intègre muni d'une division euclidienne.

Je ne comprends pas vraiment l'utilité de la première propriété. Pourquoi imposer à l'application de vérifier (1)?
Je débute avec les anneaux euclidiens, mais dans le peu que j'en ai vu, la propriété (1) n'intervient pas il me semble (pas sûr) : définition des irréductibles, tout anneau euclidien est principal et factoriel, Bézout et l'équivalent de "l'arithmétique classique",...

Merci d'avance.
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[leon1789]

La première assertion sert à faire terminer des récurrences descendantes.
Si on n'a pas l'assertion (1), comment justifier que l'algo d'euclide s'arrête et donne un résultat (Bézout) ?

[Seirios]

Bonjour,

Personnellement, je n'ai jamais utilisé la propriété (1)...Et l'algorithme d'Euclide ne s'en porte pas plus mal : il s'arrête lorsque l'un des restes s'annule, or si les restes ne s'annulent pas alors on obtient une suite d'entiers strictement décroissante.

[fred3142]

Merci. Il me semble bien également ne jamais m'en être servi, ni pour Euclide, ni pour quoi que ce soit.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

muni de la valeur absolue, vérifie la propriété 2 mais pas 1, comment définissez-vous la division euclidienne dans ce cas ?

[Seirios]

Via la propriété 2. En pratique, la division n'aura pas grand intérêt puisque tout rationnel sera divisible par n'importe quel rationnel, mais il me semble que ce qui est important, c'est que les propriétés usuelles sur les anneaux euclidiens soient toujours vérifiées. Est-ce que ce n'est pas le cas ?

[Médiat]

Bonjour,

Via la propriété 2.

Ce n'est pas suffisant :


(on a bien )
mais aussi
(on a bien )
ou encore
(on a bien )

etc.

[leon1789]

message annulé

[Seirios]

Ce n'est pas suffisant :


(on a bien )
mais aussi
(on a bien )
ou encore
(on a bien )

etc.

Pour moi, dans la division euclidienne, il n'est pas nécessaire d'avoir unicité, elle indique simplement l'existence. D'ailleurs il me semble que la valeur absolue sur vérifie les propriétés (1) et (2) sans qu'il y ait unicité des coefficients de la division euclidienne (si le reste est non nul, il y a toujours deux possibilités : un reste négatif ou un reste positif).