espaces courbes et coeffs métriques

[invite9e0be6e7]

Bonsoir!

Je suis entrain de lire le bouquin "L'univers a-t-il une forme?" de Roland Lehoucq et j'suis tombé sur quelque chose que j'ai pas compris. Je vais citer le passage que je comprends pas

Riemann montre aussi que la courbure d'un espace peut être étudiée en l'immergeant dans un espace euclidien de dimension supérieur. Pour cela, une surface courbe à deux dimensions doit être immergée dans un espace euclidien à trois dimensions, un espace courbe à trois dimensions doit être immergé dans un espace euclidien à six dimensions et un espace courbe à quatre dimensions dans un espace euclidien à dix dimensions.

plus haut avant ça, il est fait mention de coefficients métriques, il en faut 3 pour un espace courbe à 2 dimensions, 6 pour un espace courbe à 3 dimensions et 10 pour un espace courbe à 4 dimensions. Je me doute qu'il existe un lien entre les deux.

J'ai tenté quelques recherches sur les coefficients métriques mais j'ai rien trouvé de compréhensible à mon niveau (L1), donc si vous pouviez m'expliquer ce que c'est s'il vous plait j'vous en remercie
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[Amanuensis]

Une fois une base fixée une métrique d'espace vectoriel se présente sous la forme d'une application bilinéaire symétrique de ExE dans R. Cela s'encode dans une matrice nxn symétrique, n étant la dimension de E, et cela a n(n+1)/2 paramètres indépendants, c'est à dire les
chiffres indiqués.

Par exemple en dimension 2, une métrique peut être décrite avec trois coefficients a, a, c par ds²=a dx²+2b dxdy+c dy²

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Quand à la citation, j'imagine qu'il parle d'une immersion isométrique locale d'une variété analytique (théorème de Janet-Cartan, http://eom.springer.de/j/j054190.htm). La borne pour une immersion globale non isométrique est plus petite, et la borne pour une immersion globale isométrique est plus grande.