inégalité avec la Trace

[invite2bc7eda7]

Bonjour à tous,

un petit exercice court dans l'énoncé mais dont la démonstration m'échappe (les meilleurs exercices, court mais pas facile à résoudre):

dans un premier temps je dois montrer que pour

Où représente l'ensemble des matrices symétriques positives.

Ça, c'était simple (propriété de la fonction ln)

Je dois en déduire que pour

Mais là, je bloque complétement...

Si A et/ou B est/sont non inversible(s) je m'en sort, mais dans l'autre cas je n'y arrive pas du tout.

Une piste svp?

Merci beaucoup pour votre aide

Mystérieux1
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[invitec317278e]

Si A et/ou B est/sont non inversible(s) je m'en sort, mais dans l'autre cas je n'y arrive pas du tout.

Dans ce cas, souviens-toi que l'ensemble des matrices inversibles est dense dans l'ensemble des matrices.

[Tiky]

Le problème c'est qu'il n'arrive à le démontrer que pour A ou B non inversible et non pour A et B inversibles.

Pour ma part, je parviens aussi à le démontrer pour A et B qui commutent, je ne sais pas si ça peut aider.

[invitec317278e]

Le problème c'est qu'il n'arrive à le démontrer que pour A ou B non inversible et non pour A et B inversibles.

Pour ma part, je parviens aussi à le démontrer pour A et B qui commutent, je ne sais pas si ça peut aider.

s'il y arrive pour A ou B inversible, il y arrive pour A et B inversible...

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tiky]

A ou B non inversible.

[invite2bc7eda7]

Oui, je me suis peut-être mal exprimé, j'y arrive pour A et/ou B NON inversible, dans le cas contraire (A et/ou B inversible) je n'y arrive pas.

Une piste peut-être ...

Pour A ou B non inversible il faut montrer que Tr(AB)>=0

Je diagonalise A (symetrique positive) puis je bidouille le calcul de Tr(AB) ... et après quelques lignes, l'inégalité apparait.

Sinon, toujours rien pour l'autre méthode.

Tiky, comment montres tu quand A et B commutent...

Ca m'aidera peut-être à trouver la solution.

Merci pour vos réponses,

Mystérieux1

[invite57a1e779]

Je considère la matrice qui est symétrique, positive, inversible.

L'inégalité vaut pour et , et il suffit de passer à la limite lorsque tend vers l'infini.

[invite9617f995]

Bonjour,

Pour ce qui est du cas A et B commutent, je crois qu'on peut utiliser le fait que A et B commutent si et seulement si elles sont diagonalisable dans une même base orthonormale.

Si je ne me trompe pas, l'inégalité se démontre alors assez facilement.

Silk

[invite2bc7eda7]

Merci silk78 je ne savais plus si c'était une équivalence ou juste une implication (A et B commutent=> A et B codiago ...)

Merci God's Breath, mais justement, c'est le cas où A est inversible qui me pose probleme...

[invite57a1e779]

Si l est symétrique, positive, inversible, il existe une matrice inversible telle que .

[Tiky]

J'ai utilisé le fait que A et B diagonalisables commutent si et seulement si A et B sont diagonalisables dans une même base. C'est alors facile de montrer que AB est une matrice symétrique positive.

[invite2bc7eda7]

Je dois être à coté de la plaque là... God's Breath, désolé je ne vois pas ou vous voulez en venir...

Merci pour toutes vos réponses, je continue de réflechir.

@+, bonne journée