[exo] Développement limité

[invite212ad7bb]

Tout d'abord bonjour à tous, je n'ai pas l'habitude d'utiliser ce type de forum, mais bon la j'ai pas le choix.

Mon problème concerne un exercice sur les développements limités où je bloque totalement. Je dois déterminer le nombre réel a tel que ma fonction :

F(x) = (x² - x + 1) ^ ½ - (x^3 + ax² + 1) ^ ⅓

tende vers 0 lorsque x tend vers + l'infini.

J'ai tenté de faire les développements limités des racines en utilisant la formule de DL (1 + x)^n, mais j'ai abouti à un résultat qui ne me permet pas de conclure.

J'ai également essayé de simplifier la fonction en tentant d'extraire le x² et le x^3 en factorisant à l'intérieur des racines, mais je suis une fois de plus tombé dans une impasse.

Pourriez vous m'indiquer une piste, un indice ou un point de départ afin que je trouve ce satané a svp ? parce que la je suis dans l'obscurité la plus totale.

Merci d'avance

Cordialement, Amshaegar - Etudiant en fac de maths
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[iwio]

J'ai tenté de faire les développements limités des racines en utilisant la formule de DL (1 + x)^n, mais j'ai abouti à un résultat qui ne me permet pas de conclure.

C'est normal que ton DL ne marche pas, tu peux faire le DL de (1 + U)^n ssi U tend vers 0.
Or ici ton U=x² - x ne tend pas vers 0 quand ton x tend vers oo. Pareil pour U=x^3 + ax².

[iwio]

Essaye en posant h=1/x comme ça, quand x->oo, alors h->0. Et ainsi, tu pourras faire ton DL, et ensuite "probablement" trouver le "a".

[invite212ad7bb]

C'est d'ailleurs en voyant que le DL ne marchait pas que j'ai décidé de tenter de simplifier les racines, ca me parait être la bonne méthode mais je trouve un a/x dans l'expression.

Comme ce a/x tend vers 0 à l'infini, ca m'empeche totalement de voir ce que a doit valoir. A moins qu'il vaille lui même l'infini mais j'ai regardé un peu par tatonnement et ce n'est pas ca.

[A voir en vidéo sur Futura]

[GuYem]

Salut.

Comme on t'a dit plus tôt, pour écrire un DL il faut bien s'assurer que tu es au bon voisinage. Ici tu vas faire des DL de (1+x)^n, et ceux là ne sont que pour x voisin de 0. Pour toi le x tend vers +oo, l'idée est donc de mettre des x en facteurs pour t'y ramener.
Je suis peut-être pas trés clair, alors on va écrire des trucs :



Effectue tes DL à partir de là et ca devrait mieux aller

[iwio]

tu fais le DL de et le DL de tu fais la soustraction des 2. Ensuite tu reviens en x. Tu fais tendre x vers l'infinie et tu cherches ta valeur de a.

[invite212ad7bb]

C'est exactement ce que j'ai en plus après simplification des racines.

Merci Iwio et GuYem, je devrais m'en sortir désormais

[iwio]

C'est exactement ce que j'ai en plus après simplification des racines.

Merci Iwio et GuYem, je devrais m'en sortir désormais

Ok, bon courage.

[invite2e668e3f]

Hi !!

Si tout va bien on doit trouver a=-3/2...

A+