développement limité !

[invite6a54289b]

j' ai un petit problème avec les développements limités. est ce que quelqu'un d'entre vous pourrait m'expliquer. en cours, on les a vu mais au niveau des exemples, c'est pas top...
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[erik]

Ben, c'est pas top précis comme question....
Essaye de lire ce document : http://perso.wanadoo.fr/lavau/mpsi2003/DLTAYLOR.PDF
et dis nous ce qui t'échappe

[invite6a54289b]

merci. c'est vrai que c'est pas trop précis car j'ai un cours qui n'est pas poussé dessus.
dans mon cours, je sais la formule du développement limité du 1er ordre avec f(x+h)=f(x)+hf'(x)
et on me donne les developpements limités a savoir exp(x), sin(x) cos(x) et ln(1+x) pour le deuxième ordre mais c'est vrai que je ne vois pas trop d'où ça sort...
d'après ce que je comprnds, c'est le même principe que les dérivées et primitives, on a des formules et on les appliques mais c'est vrai que du coup pour les DL du deuxième ordre, je n'ai que ça !

[invite13d85322]

Salut,

Le développement limité, c'est l'approximation d'une fonction en un point. Plus tu montes en degré, plus la précision est importante.

Le DL se présente toujours de la forme f(x)= P(x) +o(x^n)
avec P(x) un polynome de degré n , et x^n une fonction négligeable en un point précis.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6a54289b]

d'accord. alors, est ce que tu peux m'expliquer comment on trouve le DL de ln(1+x) par exemple ?!

[erik]

Regarde la page 3 du document que je t'ai indiqué plus haut,
le paragraphe 4:Formule de Taylor–Young donne la réponse à ta question.

Sinon à part ça ta question est incomplète on parle du DL de'une fonction en un point, suivant que tu te situe en x=0, x=1, x=... ta fonction n'aura pas le même DL

[erik]

DL de y=f(x) au point x=a :
f(x)=f(a)+(x-a)f'(a)+(x-a)²f''(a)/2!+(x-a)^3f'''(a)/3!+...

[invite6a54289b]

ok; je pense avoir compris. merci

[invitea77054e9]

Salut Freddy69, tout comme toi j'ai eu beaucoup de mal à comprendre les DL des fonctions d'une variable réelle.
Je vais essayer de te donner quelques indications:

Le DL d'une fonction d'une variable réelle en un point est une approximation par un polynome de cette fonction. Ceci veut dire qu'au voisinage de ce point, le polynome et la fonction prennent des valeurs très proches, et graphiquement, cela veut dire que les graphes de la fonction et du polynome se confondent dans un voisinage très proche du point considéré.

Formellement, cela veut dire que pour une fonction f:lR->lR, x->f(x) peut être approximée comme suit:
f(x)=P(x)+o(x), où o(x)->0 lorsque x tend vers 0. (je ne considère que les DL au voisinage de 0, au voisinage d'un point b, il suffit d'effectuer un changement de variable!) .

Que représentent P(x) et o(x)?
o(x) est l'erreur que l'on commet quand on approche f(x) par P(x).
o(x) gagnera en précision avec le P(x) qu'on choisira, comme on va le voir plus loin.

Mais une remarque s'impose, quel est le DL d'un polynome?
Et bien il est son propre DL, ce qui n'est pas très surprenant, puisqu'il serait idiot d'approcher un polynome par un autre polynome!

Maintenant un exemple qui nous aidera a génèralisé:
Quand j'étais en terminale, je cherchais une fonction dont la dérivée est elle-même (qui a dit exponentielle!).
J'avais considéré après quelques recherches l'application suivante:
1+x+x²/2!+...+x^n/n! ,
qui une fois dérivée donne:
1+x+x²/2!+...+x^(n-1)/(n-1)!
Seul le monome de degré n a disparu, donc si on considére à présent l'application:
1+x+x²/2!+...+x^n/n!+...
on se retrouve avec une fonction qui est sa propre dérivée.
Seulement, a-t-on le droit de considérer une sommation infinie? La fonction exponentielle n'est-elle pas la seule fonction qui est sa propre dérivée?
Si on admet ces deux hypothèses, on se retrouve avec la formule suivante:
exp(x)=1+x+x²/2!+...+x^n/n!+...

considérons à présent:
exp(x)=1+x+x²/2!+...+x^n/n!+o(x)

Cette expression est-elle valable?
A priori P(x)=1+x+x²/2!+...+x^n/n! est bien un polynome, reste à vérifier que o(x)=x^(n+1)/(n+1)!+... est bien petit devant P(x) .

Pour rappelle, o(x) est petit devant P(x) si o(x) est petit devant le terme de plus haut degré de P(x), à savoir x^n .
Vu qu'on considère un DL au voisinage de 0, pour tout k>n, x^k<<x^n, bref o(x)=x^(n+1)/(n+1)!+... est bien négligeable devant x^n, et donc devant P(x).
Pour formaliser tout cela, on pourrait noter o(P(x)), mais on emploi plutot la notation o(x^n).

On dira finalement, que la fonction exponentielle admet un DL à l'ordre k, en 0, et on a exp(x)=1+x+x²/2!+...+x^n/n!+o(x^n) .

Essayons de génèraliser tout ceci:
On dit qu'une fonction f:lR->lR admet un DL à l'ordre n, en 0, si f est de classe C^k (i.e, f est k fois dérivable, de dérivée k-ième continue), et on a :
f(x)=f(0)+(f'(0))x+(f^2(0)/2)x^2!+(f^3(0)/3!)x^3+....+(f^n(0)/n!)x^n+o(x^n)
où f^k(0) est la dérivée k-ième de f au point 0.

Pour un DL à l'ordre n, au point b, on aurait :
f(b)+(f'(b))(x-b)+(f^2(b)/2)(x-b)^2!+(f^3(b)/3!)(x-b)^3+....+(f^n(b)/n!)(x-b)^n+o((x-b)^n)


La démonstration n'est pas vraiment aisée, donc je ne la ferais pas.
Mais vérifions de suite que cette formule marche pour la fonction exponentielle:
exp^k(0)=1 pour tout k, donc a exp(x)=exp(0)+(exp'(0))x+(exp^ 2(0)/2)x^2!+(exp^3(0)/3!)x^3+....+(exp^n(0)/n!)x^n+o(x^n)=1+x+x²/2!+...+x^n/n!+o(x^n)
Ca marche!

De meme, pour une fonction polynomiale, on a:
f(x)=a0+a1X+a2X^2+....+anX^n, où les ak sont les coeff du polynome (désolé, j'ai pas le courage d'utiliser latex!)
Or pour tout k, f^k(0)=ak, et quand on remplace les f^f(0) par les ak, on retrouve bien notre fonction!


A quoi peuvent bien servir les DL?
Un exemple concret est leur utilisation sur les calculatrices.
Une calculatrice peut effectuer des additions et des produits, pas grand chose d'autre comme opération, donc comment calculer les valeurs d'une fonction quelconque? En utilisant son DL par exemple!
On aura pas une valeur précise de la fonction en un point, mais ce n'est pas grave, on en aura un approximation aussi bonne que l'on veut (moyennant de la mémoire!).
Plus le DL sera effectuer à un ordre élevé, plus la précision sera grande.

Il y a beaucoup d'autre application, par exemple si tu as vu les nombres complexes, en utilisant le DL de exp(i*x), de cos(x) et de sin(x), tu montrerais la formule suivante:
exp(i*x)=cos(x)+i*sin(x)
Une bien jolie formule...n'est-ce pas?


Voilà, c'est tout ce qui me vient à l'esprit, mais si tu as d'autres questions n'hésite pas!