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Opérateur/intégrale



  1. #1
    Quinto

    Opérateur/intégrale


    ------

    Salut,
    en algèbre fonctionnelle, on a coutume d'exprimer un opérateur linéaire comme l'intégrale d'une fonction bien choisie lorsque c'est possible.
    Il me semble que le théorème de représentation de Riesz permet justement d'avoir de bonnes hypothèses pour que ce soit possible.

    Par exemple, la transformée de Laplace est remarquable en ce sens qu'elle transforme la dérivée n-ième d'une fonction en un polynome (ou en "presqu'un polynome")


    M'est alors venue cette question:
    qu'en est il de la dérivée?

    Est il possible, sous des hypothèses relativement faible de définir une fonction de masse h, telle que
    intégrale de (f(x)*h(x,y)dx)=df/dy ?
    Si vous avez des idées, elles sont les bienvenues.
    A+

    -----

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  3. #2
    martini_bird

    Re : Opérateur/intégrale

    Salut,

    je paraphrase: on cherche une fonction (ou une distribution) h(x,y):IR²->IR telle que:



    pour un maximum de fonctions f.

    A première vue, je pense que c'est chaud, surtout
    Citation Envoyé par Quinto
    sous des hypothèses relativement faible
    Mais je promets de chercher.

    A+

  4. #3
    Sylvestre

    Re : Opérateur/intégrale

    Salut,

    Est-ce que h(x,y) ne pourrait pas être la dérivée (au sens des distributions) selon x d'un pic de dirac en y ?

    Sylvestre

  5. #4
    Quinto

    Re : Opérateur/intégrale

    Je pense que ca pourrait marcher. Si je ne m'abuse la dérivée d'un pic de Dirac d'une fonction f est l'opposé de pic de Dirac de la dérivée f'.

    Il faudrait voir ca un peu plus en détail.

  6. #5
    martini_bird

    Re : Opérateur/intégrale

    Salut,

    confirmation ici, formule (17).

    Cordialement

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    Quinto

    Re : Opérateur/intégrale

    Salut,
    merci, c'est intéressant cette affaire là. On pourrait peut etre trouver des trucs intéressants à partir de ceci.
    Ca répond parfaitement à mon problème. Je pense qu'il faut donc juste que f soit C infinie à support bornée, ce qui est déjà pas mal
    A+

  9. Publicité
  10. #7
    Quinto

    Re : Opérateur/intégrale

    Mais alors ca n'impliquerait pas une sorte de formule de représentationdans le genre formule de Cauchy pour les fonctions holomorphes, ou théorème de la moyenne pour les fonctions harmoniques... ??

  11. #8
    martini_bird

    Re : Opérateur/intégrale

    Citation Envoyé par martini_bird
    Salut,

    confirmation ici, formule (17).

    Cordialement
    Salut,
    juste une petite question: sachant que (formule (12) dans le lien), la formule (17) donne:



    Or, naïvement, j'aurais plutôt écrit:



    Quelqu'un pourrait-il m'expliquer où est l'erreur?

    Merci d'avance.

  12. #9
    martini_bird

    Re : Opérateur/intégrale

    Citation Envoyé par Quinto
    Mais alors ca n'impliquerait pas une sorte de formule de représentationdans le genre formule de Cauchy pour les fonctions holomorphes, ou théorème de la moyenne pour les fonctions harmoniques... ??
    Salut,

    Je ne sais pas trop: la formule de Cauchy fait intervenir un calcul sur un cercle, alors que la formule avec le delta de Dirac est plutôt un calcul sur une boule. Il faudrait peut-être faire usage du théorème de Stokes?

    Quant au théorème de la moyenne pour les fonctions harmoniques, je ne le connais pas.

    Cordialement.

  13. #10
    Quinto

    Re : Opérateur/intégrale

    Citation Envoyé par martini_bird
    Salut,
    juste une petite question: sachant que (formule (12) dans le lien), la formule (17) donne:



    Or, naïvement, j'aurais plutôt écrit:



    Quelqu'un pourrait-il m'expliquer où est l'erreur?

    Merci d'avance.
    Je ne sais pas ou est l'erreur et si elle y'est, ou elle est, mais je sais que la 2e est certainement juste, en effet f'(a)=f*delta, où * est la convolution. Notamment, on retrouve la 2e formule.
    Cependant, peut etre que l'on peut faire apparaitre le f(a) mais qu'il va s'annuler par magie.

    Pour répondre à ta seconde question, il me semble que, l'intégrale de u(x,y) sur un cercle de centre p et de rayon arbitraire est égale à
    2*pi*u(p) où u est harmonique, et quand on est sur un domaine simplement connexe.
    Ca permet de montrer notamment qu'une fonction harmonique définie sur un domaine simplement connexe prend son maximum et son minimum sur le bord.
    Notamment, toute fonction harmonique sur R^2 est soit constante, soit non bornée ....

  14. #11
    martini_bird

    Re : Opérateur/intégrale

    Citation Envoyé par Quinto
    Je ne sais pas ou est l'erreur et si elle y'est, ou elle est, mais je sais que la 2e est certainement juste, en effet f'(a)=f*delta, où * est la convolution. Notamment, on retrouve la 2e formule.
    Cependant, peut etre que l'on peut faire apparaitre le f(a) mais qu'il va s'annuler par magie.
    Ils ont peut-être supposer implicitement que f(a)=0.

    Citation Envoyé par Quinto
    Pour répondre à ta seconde question, il me semble que, l'intégrale de u(x,y) sur un cercle de centre p et de rayon arbitraire est égale à
    2*pi*u(p) où u est harmonique, et quand on est sur un domaine simplement connexe.
    Ca permet de montrer notamment qu'une fonction harmonique définie sur un domaine simplement connexe prend son maximum et son minimum sur le bord.
    Notamment, toute fonction harmonique sur R^2 est soit constante, soit non bornée ....
    Ok, ça correspond à ceci alors. (Je n'en étais pas sûr, car le lien traite le cas d'une sphère...)

    Merci.

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