Opérateur/intégrale

[inviteab2b41c6]

Salut,
en algèbre fonctionnelle, on a coutume d'exprimer un opérateur linéaire comme l'intégrale d'une fonction bien choisie lorsque c'est possible.
Il me semble que le théorème de représentation de Riesz permet justement d'avoir de bonnes hypothèses pour que ce soit possible.

Par exemple, la transformée de Laplace est remarquable en ce sens qu'elle transforme la dérivée n-ième d'une fonction en un polynome (ou en "presqu'un polynome")


M'est alors venue cette question:
qu'en est il de la dérivée?

Est il possible, sous des hypothèses relativement faible de définir une fonction de masse h, telle que
intégrale de (f(x)*h(x,y)dx)=df/dy ?
Si vous avez des idées, elles sont les bienvenues.
A+
-----

[invite4793db90]

Salut,

je paraphrase: on cherche une fonction (ou une distribution) h(x,y):IR²->IR telle que:



pour un maximum de fonctions f.

A première vue, je pense que c'est chaud, surtout

sous des hypothèses relativement faible

Mais je promets de chercher.

A+

[invite6acfe16b]

Salut,

Est-ce que h(x,y) ne pourrait pas être la dérivée (au sens des distributions) selon x d'un pic de dirac en y ?

Sylvestre

[inviteab2b41c6]

Je pense que ca pourrait marcher. Si je ne m'abuse la dérivée d'un pic de Dirac d'une fonction f est l'opposé de pic de Dirac de la dérivée f'.

Il faudrait voir ca un peu plus en détail.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4793db90]

Salut,

confirmation ici, formule (17).

Cordialement

[inviteab2b41c6]

Salut,
merci, c'est intéressant cette affaire là. On pourrait peut etre trouver des trucs intéressants à partir de ceci.
Ca répond parfaitement à mon problème. Je pense qu'il faut donc juste que f soit C infinie à support bornée, ce qui est déjà pas mal
A+

[inviteab2b41c6]

Mais alors ca n'impliquerait pas une sorte de formule de représentationdans le genre formule de Cauchy pour les fonctions holomorphes, ou théorème de la moyenne pour les fonctions harmoniques... ??

[invite4793db90]

Salut,

confirmation ici, formule (17).

Cordialement

Salut,
juste une petite question: sachant que (formule (12) dans le lien), la formule (17) donne:



Or, naïvement, j'aurais plutôt écrit:



Quelqu'un pourrait-il m'expliquer où est l'erreur?

Merci d'avance.

[invite4793db90]

Mais alors ca n'impliquerait pas une sorte de formule de représentationdans le genre formule de Cauchy pour les fonctions holomorphes, ou théorème de la moyenne pour les fonctions harmoniques... ??

Salut,

Je ne sais pas trop: la formule de Cauchy fait intervenir un calcul sur un cercle, alors que la formule avec le delta de Dirac est plutôt un calcul sur une boule. Il faudrait peut-être faire usage du théorème de Stokes?

Quant au théorème de la moyenne pour les fonctions harmoniques, je ne le connais pas.

Cordialement.

[inviteab2b41c6]

Salut,
juste une petite question: sachant que (formule (12) dans le lien), la formule (17) donne:



Or, naïvement, j'aurais plutôt écrit:



Quelqu'un pourrait-il m'expliquer où est l'erreur?

Merci d'avance.

Je ne sais pas ou est l'erreur et si elle y'est, ou elle est, mais je sais que la 2e est certainement juste, en effet f'(a)=f*delta, où * est la convolution. Notamment, on retrouve la 2e formule.
Cependant, peut etre que l'on peut faire apparaitre le f(a) mais qu'il va s'annuler par magie.

Pour répondre à ta seconde question, il me semble que, l'intégrale de u(x,y) sur un cercle de centre p et de rayon arbitraire est égale à
2*pi*u(p) où u est harmonique, et quand on est sur un domaine simplement connexe.
Ca permet de montrer notamment qu'une fonction harmonique définie sur un domaine simplement connexe prend son maximum et son minimum sur le bord.
Notamment, toute fonction harmonique sur R^2 est soit constante, soit non bornée ....

[invite4793db90]

Je ne sais pas ou est l'erreur et si elle y'est, ou elle est, mais je sais que la 2e est certainement juste, en effet f'(a)=f*delta, où * est la convolution. Notamment, on retrouve la 2e formule.
Cependant, peut etre que l'on peut faire apparaitre le f(a) mais qu'il va s'annuler par magie.

Ils ont peut-être supposer implicitement que f(a)=0.

Pour répondre à ta seconde question, il me semble que, l'intégrale de u(x,y) sur un cercle de centre p et de rayon arbitraire est égale à
2*pi*u(p) où u est harmonique, et quand on est sur un domaine simplement connexe.
Ca permet de montrer notamment qu'une fonction harmonique définie sur un domaine simplement connexe prend son maximum et son minimum sur le bord.
Notamment, toute fonction harmonique sur R^2 est soit constante, soit non bornée ....

Ok, ça correspond à ceci alors. (Je n'en étais pas sûr, car le lien traite le cas d'une sphère...)

Merci.