Sous-espace stable. Equation matricielle.

[invite2b14cd41]

Salut à tous.

Le but de l'exo est de résoudre dans , ensemble des matrices carrées réelles 2x2, l'équation: X^2+X=A
Ou A est la matrice 2x2 remplie de 1, donc de valeurs propres 0 et 2.
J'ai diagonalisé la matrice dans la base convenable. On me demande ensuite de considérer a l'endomorphisme de R^2 canoniquement associé à la matrice Attila A. Il faut montrer que si u, un endomorphisme de R^2 vérifie: u o u+u=a ("o" -> composition), alors les sous-espaces propres de a sont stables par u. Je ne vois pas vraiment comment m'y prendre. Biensur, je remarque que si x est un vecteur propre, alors on a u(u(x)+x) dans Vect(x), mais il faut montrer que u(x) est dans Vect(x)...

Merci par avance.
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[invite899aa2b3]

Montre que et commutent.

[invite2b14cd41]

Montre que et commutent.

D'accord, c'est très facile. Ensuite, si je prends x<>0 disons dans le ss-epace propre relatif à 2, u(x)=(1/2).u(a(x))=(1/2).a(u(x)) ... quelque chose m'échappe.

[invite899aa2b3]

Tu l'as montré puisqu'en multipliant par on trouve que .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite2b14cd41]

Tu l'as montré puisqu'en multipliant par on trouve que .

Ah d'accord. merci. pour 0 c'est presque pareil. (mais je fais attention de ne pas diviser par 0)
Si x est dans le ss-espace relatif à 0, on a: a(u(x))=u(a(x))=0

Merci beaucoup... et maintenant au dodo.