équation matricielle

[invitefa636c3d]

bonjour à tous
j'ai un petit problème sur un exo:

soit la matrice A (3-3) :
[2 0 4]
[3 -4 12]
[1 -2 5]

on me demande ds un premier temps de calculer les valeurs propres de A et de trouver la matrice de passage;pas de problème (les val propres sont 0,1,2...)

le but de la manoeuvre est ensuite de trouver les matrices B telles que B^3=A (1)

la première question me demande de montrer que si B vérifie (1) alors BA=AB ;pas de problème!

il faut alors en déduire toutes les solutions?? mais je ne vois pas le lien entre les 2 questions;
le commutant entre t-il en jeu?

merci
jameso
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[invite6f044255]

Salut

B^3=A => BA=AB

tu prends la contraposée

BA!=AB => B^3!=A

Donc déjà l'ensemble de tes solutions est inclus dans le commutant de A.

[invitefa636c3d]

tiens, justement à propos du commutant, comment faire pour trouver le commutant de A (ou d'une matrice quelconque)??

à vrai dire, c'est surtout ça qui m'intéresse ...

[invite6f044255]

Pour le commutant, déjà tu dois (?) savoir que les matrices qui commutent avec toutes les autres sont les matrices scalaires.

A mon avis, l'idée de ton exo est de diagonaliser ta matrice et de faire un lien entre le commutant de D (la matrice diagonalisée) et le commutant de A.

Le commutant de D est simple à trouver, tu calcules DB puis BD et tu égalises les termes un à un. Ca vient en 2 minutes.
Après il faut trouver le lien entre les commutants de A et de D....je vais y réfléchir....

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite6f044255]

C'est ça!!
Notons B un commutant de D: BD=DB
On a aussi D=P'AP (ou P' est l'inverse de P)

donc BP'AP=P'APB
et PBP'AP=APB
d'où PBP'A=APBP'

donc PBP' commute avec A

On a donc le commutant de A.
(car "B commute avec D" est équivalent à " PBP' commute avec A")

[invitefa636c3d]

merci pour tes indications ixi mais j'aurai aimé savoir quelle est la forme de ta matrice B: triangulaire ,diagonale...(ds le cadre de l'exo bien sûr) et pourquoi??

PS: qu'est ce qu'une matrice scalaire? ( pour moi une matrice est une application qui à un couple (i,j) associe justement un scalaire qui peut être réel ou complexe...)

amicalement
jameso

[invite6f044255]

Ok, je m'explique

Une matrice scalaire est une matrice diagonale dont tous les termes diagonaux sont égaux. Elles sont toutes des mulitples de l'identité M=kI où k est un scalaire.

Pour avoir B, c'est assez simple. Ta matrice diagonale D a pour valeur propre 0, 1 et 2.
D=
[0 0 0]
[0 1 0]
[0 0 2]
Elle n'a que 2 termes non-nuls.
posons B=
[a b c]
[d e f]
[g h i]
alors DB=
[0 0 0]
[d e f]
[2g 2h 2i]
et BD=
[0 b 2c]
[0 e 2f]
[0 h 2i]

or ces deux matrices doivent être égales.
donc B=
[a 0 0]
[0 e 0]
[0 0 i]

où a,e et i sont des constantes arbitraires.
Donc B est aussi diagonale (on voit que le cas particulier d'une matrice scalaire (a=e=i) marche bien )

Voilà, après tu retrouves le commutant de A en multipliant par P et P'.

Si tu as d'autres questions ,n'hésite pas.

[invitefa636c3d]

il n'existe pas un théorème qui assurent que B est diagonale??? ta méthode fonctionne bien pour les petites dimensions mais après les calculs peuvent s'avérer pénibles non?...

amicalement
jameso

[invite6f044255]

Salut Jameso,

je sais pas s'il existe un théorème qui dit que B est diagonale. Et je doute qu'il existe (mais on ne sait jamais....)

Je m'explique, si par hasard, ta matrice D est une matrice scalaire, alors son commutant est l'ensemble des matrices 3x3.
Donc pas seulement des matrices diagonales.

Ce qui est par contre vrai, c'est que quelque soit ta matrice M, son commutant contient les matrices scalaires, qui sont diagonales....

C'est vrai que pour des dimensions supérieures, le calcul peut devenir assez lourd. MAIS (et je dis bien mais)
-primo, je pense pas qu'on te demandera souvent le calcul du commutant d'un ematrice 18x18
-secundo, pourvu que ta matrice soit diagonalisable (ie avec peu de termes non-nuls), la méthode que j'ai présenté est relativement rapide (le plus long est la multiplication des matrices PBP'....)

Maintenant, il y a peut-être un expert en commutant sur le forum (il y a des fous partout ) qui connaît des astuces ou des théorèmes sympathiques....
Quant à moi, je t'ai dit tout ce que je savais....

[invitefa636c3d]

bonjour à tous,

j'ai une question qui sort un peu du sujet initial mais le cadre reste le même:

j'aurai aimé savoir pourquoi 2 matrices sont semblables ssi elles ont même poly caractéristique et poly minimal? (cela est vrai uniquement pour n=2 et n=3)

[invite6f044255]

Salut,

si je me souviens bien de mes cours, c'est vraiment "bourrin" come démonstration .
Le sens 2 matrices semblables A et B ont même ploynome caractéristique est pas trop dur, je crois....
Bon un peu de recherche et je reviens avec au moins un semblant de démonstration .

[invite6f044255]

Déjà, en dim n=2
soit A et B sont deux matrices semblables, leur polynome caractéristique est (det(A-pI)) = X^2-X.tr(A)+det(A)

or la trace est invariant sous changement de base.
et det B=det (P'AP) =det P'.det A.det P=det A.det (P'P)=det A.det I=det A
Donc ils ont le même poca.
On avance....

[invite6f044255]

En dimension n,
si A=P'BP

det (A-pI) = det (P'BP-kI) = det (P'BP-kP'IP) =det (P'(B-kI)P) = det (B-kI)

Donc deux matrices semblables ont même polynome caractéristique.

Reste l'autre sens qui est beaucoup plus compliqué. hehe.

[invitefa636c3d]

merci ixi pour ta contribution;
en cherchant la reciproque jai été amené à rencontrer le théorème de frobenius mais il semble y avoir plusieurs variantes...

j'aurai aimé savoir si qqn connaissait l'énoncé de ce théorème( et de ses extensions pourquoi pas...)
merci
jameso