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Etude matricielle pour stabilité



  1. #1
    Despe76

    Etude matricielle pour stabilité


    ------

    Bonjour,

    Je cherche, dans le cadre d'une étude de stabilité d'un système, une méthode permettant de trouver la matrice
    constante et la matrice telle que :




    étant la dérivée de
    et avec

    imposée

    Est ce que quelqu'un connait une méthode permettant d'obtenir et
    ?
    Merci d'avance.

    -----

  2. #2
    martini_bird

    Re : Etude maticielle pour stabilité

    Salut et bienvenue,

    je sais pas si ça va t'inspirer, mais le problème revient à trouver une valeur propre () et un vecteur propre () de l'opérateur

    Mais je dis peut-être des bêtises, comme on est pas dans un cadre commutatif...

    Cordialement.
    « Angle éternel, la terre et le ciel, pour bissectrice, le vent. » Garcia Lorca

  3. #3
    invite986312212
    Invité

    Re : Etude maticielle pour stabilité

    j'ai l'impression que la solution n'est pas unique.
    Déjà, B=0 et A quelconque a l'air de marcher.
    Essaie de trouver B avec A=0 pour te chauffer.

  4. #4
    Despe76

    Re : Etude maticielle pour stabilité

    J'ai oublié de préciser que les matrices ne doivent pas être nulles (ni l'une ni l'autre) car sinon les solutions trouvées (de façon triviale) n’ont aucun sens physique ni d’intérêt mathématique...

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    Despe76

    Re : Etude maticielle pour stabilité

    Je peut préciser aussi qu'il s'agit de l'étude de stabilité d'un système non-linéaire suivant une forme particuliare des "équations de Matieu" dont le seul ouvrage d'un bon niveau (à ma connaissance) traîtant du sujet a été écrit en 1958 et ne présente pas cet aspect de l'étude.

  7. #6
    invite986312212
    Invité

    Re : Etude maticielle pour stabilité

    oui mais si 0 est solution et que tu veux une solution non nulle, tu peux t'attendre à ce que B "epsilonesque" soit une "presque-solution" donc si tu cherches une résolution algorithmique tu risques de converger vers 0. Et si tu cherches une solution analytique, il faut imposer une condition supplémentaire pour éliminer 0.

  8. #7
    Despe76

    Re : Etude maticielle pour stabilité

    Une solution approchée ne pourra pas convenir (à cause du changement des points d'équilibres du système) et une solution de matrice dont la conditionnement serai mauvais non plus (pour la même raison). L'approche consistant à imposer des conditions supplémentaires pour trouver une solution au problème ne fonctionne pas (j'ai déjà essayé). La personne chargée de m'encadrer dans cette étude a essayé de résoudre le problème en le traitant par la résolution de systèmes linéaires mais sans résultat (cette solution est à proscrire). Dans certain cas parliculier j'ai réussi à trouver des solutions mais pour d'autres cas plus "fins" la solution se laisse désiré. Exemple pour
    M(t) = 0 1
    -(a+b*cos(t)) 0 avec (a,b)>0 et fix et t variant

  9. #8
    mariposa

    Re : Etude maticielle pour stabilité

    Citation Envoyé par Despe76
    Une solution approchée ne pourra pas convenir (à cause du changement des points d'équilibres du système) et une solution de matrice dont la conditionnement serai mauvais non plus (pour la même raison). L'approche consistant à imposer des conditions supplémentaires pour trouver une solution au problème ne fonctionne pas (j'ai déjà essayé). La personne chargée de m'encadrer dans cette étude a essayé de résoudre le problème en le traitant par la résolution de systèmes linéaires mais sans résultat (cette solution est à proscrire). Dans certain cas parliculier j'ai réussi à trouver des solutions mais pour d'autres cas plus "fins" la solution se laisse désiré. Exemple pour
    M(t) = 0 1
    -(a+b*cos(t)) 0 avec (a,b)>0 et fix et t variant

    pourquoi proscrire la résolution en termes de systèmes linéaires?

  10. #9
    Despe76

    Re : Etude maticielle pour stabilité

    La résolution de systèmes linéaires revient à résoudre des équations différentielles non linéaire dont on ne connaît pas de méthode donnant un résultat exact au problème. J’ai résolu ces équations par des méthodes numériques (éléments finis, différences finies, volumes finis, méthodes d’analyse numérique…) mais je n’ai trouvé de solution approchée qui satisfasse l’étude.

  11. #10
    mariposa

    Re : Etude maticielle pour stabilité

    Citation Envoyé par Despe76
    La résolution de systèmes linéaires revient à résoudre des équations différentielles non linéaire dont on ne connaît pas de méthode donnant un résultat exact au problème. J’ai résolu ces équations par des méthodes numériques (éléments finis, différences finies, volumes finis, méthodes d’analyse numérique…) mais je n’ai trouvé de solution approchée qui satisfasse l’étude.
    .
    Ton équation represente 4 équations différentielles linéaires du premier ordre. La difficulté vient du terme M(t). Comme tu as l'opérateur d/dt on a interet à décomposer les M(t) enn séries de Fourier. Tu te retrouves avec un système infini d'équations linéaires à coefficients constants qui lui est parfaitement soluble. On obtiend la solution asymptotique qui pour un problème de stabilité est suffisant.
    .
    D'accord, pas d'accord

  12. #11
    lefranc

    Re : Etude matricielle pour stabilité

    On trouve (A,B) Comme couple solution ; de façon plus générale on peut remarquer que la multiplication à droite par la puissance n de A sur une des deux matrices du couple solution est également solution ; A et B sont donc indéterminés à une matrice multiplicative prés, le seul moyen de lever cette indétermination multiplicative (pas beaucoup d'incidence au niveau du sens physique je suppose) si B est unique, c'est d'imposer à A d'être la matrice carrée unité et de résoudre finalement : B' + B = M.B pour avoir B. Qu'en penses-tu ?

  13. #12
    zinia

    Re : Etude matricielle pour stabilité

    Bonjour,
    Citation Envoyé par lefranc
    On trouve (A,B) Comme couple solution ; de façon plus générale on peut remarquer que la multiplication à droite par la puissance n de A sur une des deux matrices du couple solution est également solution
    Pas tout à fait. Si (A,B) est solution (A,BA^n) est bien solution mais pas (A²,B). En revanche si C est une matrice quelconque dont le produit avec A commute, alors (A,BC) est solution. Même si A est inversiblle, cela ne suffit pas pour l'éliminer de la solution
    Du coup, l'idée d'imposer A=I devient très réductrice

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