Algèbre

[invitecbade190]

Bonjour,

J'ai besoin de résoudre ce problème un peu long, mais super interessant, le voici :

Soit un corps algébriquement.
Pour et , on note :



Soit .
Montrer que : est un idéal de égal à son radical.
Soient .
Montrer que :
Soient .
Montrer que : et en déduire que : .
Soient et .
Montrer que : et puis, et .
Soit . Montrer que ei et seulement si .
Soit .
Montrer que
On considère éléments . Montrer qu'il existe une famille de polynômes telle que : .
Soit . Montrer que $ V(I) $ est fini si et seulement si

On suppose pour les questions et , que est une partie de formée d’éléments homogènes.
Montrer que :

Montrer que est fini
On suppose pour la question que est une partie de formée d'éléments homogènes de degré strictement positifs.
Montrer que si et seulement si

Merci d'avance.

P.S : Je suis surtout intéressé par la question :
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[invitea0db811c]

Bonsoir,

je révise donc je ne peux pas faire mieux que de répondre à la 7 :

Tente une récurrence sur le nombre de point "r" qu'on écrirait comme suit :

P(r) : "pour tout x1,...,xr de K^n, il existe un polynôme qui s'annule en x1, x2,... , x(r-1) mais pas en xr".

L'initialisation est facile, et l'hérédité pas beaucoup plus dur.

La propriété 7 est une conséquence immédiate de celle montrée par la récurrence.

Bonne soirée.

[invitecbade190]

Bonsoir,

Supposons donc, qu'il existe éléments tels qu'il existe une famille de polynômes telle que : .
Comment montrer qu'il existe et tel que : et et avec ?

A part la récurrence, n'existe pas une formule explicite pour qui vérifient ces conditions ?
Merci d'avance.

[invitea0db811c]

Relit l'hypothèse de récurrence

Supposons la propriété vraie au rang r.
Soit x1,...xr,x(r+1).
Il existe P qui s'annule sur x1,...,x(r-1) et qui est non nul sur x(r+1) et il existe Q qui s'annule sur x2,...,X(r) et qui est non nul sur x(r+1), d'après l'hypothèse de récurrence.

Alors PQ est nul sur x1,...,x(r) et non nul sur x(r+1).

Donc l'hypothèse est vraie au rang r+1.

Je laisse l'initialisation et l'application à la question en plan, il est temps de dormir

Bonne nuit !

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitecbade190]

C'est comme ça l'initialisation ? : :

[invitecbade190]

ou bien :

???
Pour s'inspirer un peu des polynômes d'interpolation de Lagrange.

[invitea0db811c]

Soit (x1,...,x(n)) et (y1,...,y(n)) distincts. Ie il existe i tel que x(i) et y(i) sont différents. Alors P(X1,...,Xn) = Xi - x(i) Convient. Pas plus compliqué que ça.

[invitecbade190]

et non ...

[leon1789]

chentouf, barbu23,
tu regarderas ici, si tu veux ! http://www.maths-forum.com/polynomes-122445.php
Il faut au moins traiter un exemple si on veut comprendre la théorie, non ?

[invitea0db811c]

Chentouf... Réfléchit un peu.

La notation (x1,...,x(n)) désigne un n-uplet et on travaille avec k^n. Evidemment que x(i) est dans k ! La parenthèse désigne le premier point exprimé selon ses coordonnées.

[leon1789]

Chentouf... Réfléchit un peu.

De la géométrie algébrique avec des points dans k ?? je n'y crois pas vraiment.

[invitecbade190]

Soit (x1,...,x(n)) et (y1,...,y(n)) distincts. Ie il existe i tel que x(i) et y(i) sont différents. Alors P(X1,...,Xn) = Xi - x(i) Convient. Pas plus compliqué que ça.

Non leon, d'un coté je suis d'accord avec thepasboss si on veut juste connaitre la solution sans vraiment comprendre la structure de ...
A vrai dire, ce genre de solutions n'est pas original il me semble, et ne permet pas de comprendre l'idée de manière large et confortable, car là, @thepasboss, tu choisis les , mais les dans seulement et non dans ... Ce qui empêche de voir ce qui se passe dans le coté obscur qui est ... En Bref, tu utilises l'interpolation de Lagrange dans en faisant semblant de travailler dans , via l'injection canonique telle que : ...
De toute façon la suite de la discussion se trouve ici :
http://www.maths-forum.com/showthrea...664#post811664
Et merci à vous deux d'avoir répondu à mes questions :happy3:
Vos reponses sont correcte bien sûr ...

[leon1789]

je suis d'accord avec thepasboss si on veut juste connaitre la solution sans vraiment comprendre la structure de ...

Ah ben... bonne chance !

[leon1789]

Soit (x1,...,x(n)) et (y1,...,y(n)) distincts. Ie il existe i tel que x(i) et y(i) sont différents. Alors P(X1,...,Xn) = Xi - x(i) Convient. Pas plus compliqué que ça.

Effectivement, c'est une bonne idée.
Et si je comprends bien, plus besoin de récurrence :

on considère distincts.
Soit tel que et (avec Q_2 en une seule variable justement !).

Soit tel que et

etc.

Soit tel que et

alors