Algèbre

invitecbade190 · 30/05/2011, 16h27

Bonjour,

J'ai besoin de résoudre ce problème un peu long, mais super interessant, le voici :

Soit $\text{[math]}$ un corps algébriquement.
Pour $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , on note :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

$\text{[math]}$ Soit $\text{[math]}$ .
Montrer que : $\text{[math]}$ est un idéal de $\text{[math]}$ égal à son radical.
$\text{[math]}$ Soient $\text{[math]}$ .
Montrer que : $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ Soient $\text{[math]}$ .
Montrer que : $\text{[math]}$ et en déduire que : $\text{[math]}$ .
$\text{[math]}$ Soient $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .
Montrer que : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ puis, $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ .
$\text{[math]}$ Soit $\text{[math]}$ . Montrer que $\text{[math]}$ ei et seulement si $\text{[math]}$ .
$\text{[math]}$ Soit $\text{[math]}$ .
Montrer que $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ On considère $\text{[math]}$ éléments $\text{[math]}$ . Montrer qu'il existe une famille de polynômes $\text{[math]}$ telle que : $\text{[math]}$ .
$\text{[math]}$ Soit $\text{[math]}$ . Montrer que $ V(I) $ est fini si et seulement si $\text{[math]}$

On suppose pour les questions $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ , que $\text{[math]}$ est une partie de $\text{[math]}$ formée d’éléments homogènes.
$\text{[math]}$ Montrer que :
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$ Montrer que $\text{[math]}$ est fini $\text{[math]}$
$\text{[math]}$ On suppose pour la question $\text{[math]}$ que $\text{[math]}$ est une partie de $\text{[math]}$ formée d'éléments homogènes de degré strictement positifs.
$\text{[math]}$ Montrer que $\text{[math]}$ si et seulement si $\text{[math]}$

Merci d'avance.

P.S : Je suis surtout intéressé par la question : $\text{[math]}$

**thepasboss** · 30/05/2011, 19h35

Bonsoir,

je révise donc je ne peux pas faire mieux que de répondre à la 7 :

Tente une récurrence sur le nombre de point "r" qu'on écrirait comme suit :

P(r) : "pour tout x1,...,xr de K^n, il existe un polynôme qui s'annule en x1, x2,... , x(r-1) mais pas en xr".

L'initialisation est facile, et l'hérédité pas beaucoup plus dur.

La propriété 7 est une conséquence immédiate de celle montrée par la récurrence.

Bonne soirée.

invitecbade190 · 30/05/2011, 23h29

Bonsoir,

Supposons donc, qu'il existe $\text{[math]}$ éléments $\text{[math]}$ tels qu'il existe une famille de polynômes $\text{[math]}$ telle que : $\text{[math]}$ .
Comment montrer qu'il existe $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ tel que : $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ avec $\text{[math]}$ ?

A part la récurrence, n'existe pas une formule explicite pour $\text{[math]}$ qui vérifient ces conditions ?
Merci d'avance.

**thepasboss** · 30/05/2011, 23h39

Relit l'hypothèse de récurrence

Supposons la propriété vraie au rang r.
Soit x1,...xr,x(r+1).
Il existe P qui s'annule sur x1,...,x(r-1) et qui est non nul sur x(r+1) et il existe Q qui s'annule sur x2,...,X(r) et qui est non nul sur x(r+1), d'après l'hypothèse de récurrence.

Alors PQ est nul sur x1,...,x(r) et non nul sur x(r+1).

Donc l'hypothèse est vraie au rang r+1.

Je laisse l'initialisation et l'application à la question en plan, il est temps de dormir

Bonne nuit !

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invitecbade190 · 30/05/2011, 23h39

C'est comme ça l'initialisation ? :

:
$\text{[math]}$

invitecbade190 · 31/05/2011, 15h22

ou bien :
$\text{[math]}$
???
Pour s'inspirer un peu des polynômes d'interpolation de Lagrange.

**thepasboss** · 31/05/2011, 16h42

Soit (x1,...,x(n)) et (y1,...,y(n)) distincts. Ie il existe i tel que x(i) et y(i) sont différents. Alors P(X1,...,Xn) = Xi - x(i) Convient. Pas plus compliqué que ça.

invitecbade190 · 31/05/2011, 17h34

$\text{[math]}$ et non $\text{[math]}$ ...

**leon1789** · 31/05/2011, 18h17

chentouf, barbu23,
tu regarderas ici, si tu veux ! http://www.maths-forum.com/polynomes-122445.php
Il faut au moins traiter un exemple si on veut comprendre la théorie, non ?

**thepasboss** · 31/05/2011, 19h03

Chentouf... Réfléchit un peu.

La notation (x1,...,x(n)) désigne un n-uplet et on travaille avec k^n. Evidemment que x(i) est dans k ! La parenthèse désigne le premier point exprimé selon ses coordonnées.

**leon1789** · 31/05/2011, 19h40

Envoyé par thepasboss

Chentouf... Réfléchit un peu.

De la géométrie algébrique avec des points dans k ?? je n'y crois pas vraiment.

invitecbade190 · 31/05/2011, 21h39

Envoyé par thepasboss

Soit (x1,...,x(n)) et (y1,...,y(n)) distincts. Ie il existe i tel que x(i) et y(i) sont différents. Alors P(X1,...,Xn) = Xi - x(i) Convient. Pas plus compliqué que ça.

Non leon, d'un coté je suis d'accord avec thepasboss si on veut juste connaitre la solution sans vraiment comprendre la structure de $\text{[math]}$ ...
A vrai dire, ce genre de solutions n'est pas original il me semble, et ne permet pas de comprendre l'idée de manière large et confortable, car là, @thepasboss, tu choisis les $\text{[math]}$ , mais les $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$ seulement et non dans $\text{[math]}$ ... Ce qui empêche de voir ce qui se passe dans le coté obscur qui est $\text{[math]}$ ... En Bref, tu utilises l'interpolation de Lagrange dans $\text{[math]}$ en faisant semblant de travailler dans $\text{[math]}$ , via l'injection canonique $\text{[math]}$ telle que : $\text{[math]}$ ...
De toute façon la suite de la discussion se trouve ici :
http://www.maths-forum.com/showthrea...664#post811664
Et merci à vous deux d'avoir répondu à mes questions :happy3:
Vos reponses sont correcte bien sûr ...

**leon1789** · 01/06/2011, 15h44

Envoyé par chentouf

je suis d'accord avec thepasboss si on veut juste connaitre la solution sans vraiment comprendre la structure de $\text{[math]}$ ...

Ah ben... bonne chance !

**leon1789** · 01/06/2011, 16h12

Envoyé par thepasboss

Soit (x1,...,x(n)) et (y1,...,y(n)) distincts. Ie il existe i tel que x(i) et y(i) sont différents. Alors P(X1,...,Xn) = Xi - x(i) Convient. Pas plus compliqué que ça.

Effectivement, c'est une bonne idée.
Et si je comprends bien, plus besoin de récurrence :

on considère $\text{[math]}$ distincts.
Soit $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ (avec Q_2 en une seule variable justement !).

Soit $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

etc.

Soit $\text{[math]}$ tel que $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$

alors $\text{[math]}$

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