Suites de Goodstein

[invite9ac7aecb]

Bonjour,

j'ai récemment essayé de comprendre la preuve du théorème de Goodstein utilisant les nombres ordinaux.
Il y a cependant une question que je me pose.

Si j'ai bien compris, la structure des nombres ordinaux suppose l'existence d'un nombre, , qui soit plus grand que tout entier naturel. Soit. On prend de plus minimal.

Donc, à mon humble compréhension, " - 1" n'a pas de sens:
- si c'est un entier, alors aussi, absurde
- s'il est transfini, alors n'est pas minimal

S'il fallait vraiment lui donner un sens je poserais éventuellement - 1 = mais là n'est pas ma question.

En effet, dans la démonstration du théorème de Goodstein, on construit une suite qui majore celle étudiée, et qui décroît strictement (donc qui atteint 0).
Mais pour cela, on prend un nombre transfini, et on lui soustrait 1… quel sens cela a-t-il?

Merci pour votre aide!
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[invite332de63a]

Bonjour, je ne m'y connais pas mais Médiat à fait un bon article sur pas mal d'ensemble de nombres, et je le cite "Un ordinal A tel qu'il existe un ordinal B tel que A = B+ est appele ordinal successeur ; si A non nul n'est pas
un ordinal successeur il est dit ordinal limite." et plus loin "w est un ordinal limite, c'est d'ailleurs le plus petit". On peu donc que définir un sens quand ce n'est pas un ordinal limite sinon cela n'a comme aucun sens, comme 0-1 dans lN. Pour le sens donné c'est alors A-1 est donc (quand c'est définit) l'ordinal tel que A soit son successeur.

RoBeRTo

[Médiat]

est le plus petit ordinal infini et, effectivement n'est pas définie, mais ce n'est pas la dessus que la démonstration est basée, mais sur l'application qui à chaque étape associe l'ordinal obtenu en remplaçant la base par . C'est à dire que les soustractions se font sur des entiers, par exemple, si en base 4 on a alors la valeur associée (on remplace les 4) est et on ne sait pas retirer 1 à .

Par contre on peut calculer ce qui permet de calculer (on remplace les 5) le nouveau qui est bien plus petit que

[invite9ac7aecb]

Merci à vous deux pour vos réponses!

Je sais où m'adresser si j'ai d'autres questions sur le sujet

[A voir en vidéo sur Futura]